Изучение затухающих колебаний

изучение затухающих колебаний - student2.ru КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.Совокупность связанных между собой тел, способных совершать колебания, называют колебательной системой. Рассмотрим простейшую колебательную систему - пружинный маятник (рис. 1). Он представляет собой груз массой изучение затухающих колебаний - student2.ru , подвешенный на упругой пружине. Будем считать, что масса пружины мала по сравнению с массой груза.

Если первоначальная длина пружины без груза - изучение затухающих колебаний - student2.ru , то при подвешивании груза она растягивается на величину изучение затухающих колебаний - student2.ru , называемую статическим удлинением пружины. Когда маятник находится в состоянии равновесия, вес груза уравновешивается силой упругости пружины:

изучение затухающих колебаний - student2.ru , (1),

что дает возможность определить жесткость пружины статическим методом.

Выведем груз из положения равновесия вниз на расстояние, равное x. Если при этом удлинение пружины не слишком велико и выполняется закон Гука, то результирующая сила, действующая на груз, находящийся в этом положении, будет равна:

изучение затухающих колебаний - student2.ru

или с учетом соотношения (1):

изучение затухающих колебаний - student2.ru . (2)

Знак минус указывает на то, что смещение и сила имеют противоположные направления.

Таким образом, результирующая сила при смещении груза из положения равновесия пропорциональна величине смещения и всегда направлена к положению равновесия. Так как эта сила стремится возвратить груз в положение равновесия, то ее называют возвращающей силой, а коэффициент пропорциональности в (2),соответствующий величине силы, вызывающей единичную деформацию, коэффициентомвозвращающей силы или жесткости пружины. Очевидно, что в пружинном маятнике роль возвращающей силы играет сила упругости. Отметим, что если силы, действующие в системе, по своей природе не являются упругими, но описываются уравнением (2), то они называются квазиупругими силами. Колебания, совершающиеся под действием только упругих или квазиупругих сил, называются собственными колебаниями.

Если груз, выведенный из положения равновесия на небольшое расстояние изучение затухающих колебаний - student2.ru , отпустить, то он будет совершать колебания в вертикальной плоскости. За малый промежуток времени (порядка нескольких секунд) работа сил сопротивления невелика, поэтому уменьшением амплитуды колебаний можно пренебречь и считать, что маятник совершает собственные колебания с периодом изучение затухающих колебаний - student2.ru- минимальный промежуток времени, в течение которого колебания повторяются. Если изучение затухающих колебаний - student2.ru полных колебаний совершается за время изучение затухающих колебаний - student2.ru , то период

изучение затухающих колебаний - student2.ru .

Движение груза описывается, согласно второму закону Ньютона, следующим соотношением:

изучение затухающих колебаний - student2.ru (3)

или изучение затухающих колебаний - student2.ru (4)

где

изучение затухающих колебаний - student2.ru (5)

- собственная угловая (циклическая) частотасистемы – число колебаний за 2p с. Уравнение (4) - дифференциальное уравнение гармонических колебаний, решение которого представляется гармонической функцией:

изучение затухающих колебаний - student2.ru , (6)

определяющей смещение x от положения равновесия как функцию времени. Здесь изучение затухающих колебаний - student2.ru - амплитуда колебаний или модуль максимального отклонения тела от положения равновесия. Так как:

изучение затухающих колебаний - student2.ru ,

то из (5)следует:

изучение затухающих колебаний - student2.ru ,

тогда коэффициент жесткости пружины динамическим методом определяется по формуле:

изучение затухающих колебаний - student2.ru . (7)

Если время, в течение которого совершаются колебания, велико по сравнению с периодом колебаний, то на движение колеблющегося груза существенным образом будет сказываться действие сопротивления воздуха, вследствие чего амплитуда колебаний будет со временем уменьшаться. Такие колебания называются затухающими.

При сравнительно малых скоростях можно считать сопротивление прямо пропорциональным скорости движения колеблющегося тела:

изучение затухающих колебаний - student2.ru .

Знак «минус» указывает на то, что сила сопротивления (трения) направлена против смещения, а величина изучение затухающих колебаний - student2.ru представляет собой коэффициент сопротивления движению маятника. Поэтому для затухающих колебаний уравнение движения груза будет иметь вид:

изучение затухающих колебаний - student2.ru . (8)

Это уравнение приводится к виду:

изучение затухающих колебаний - student2.ru , (9)

где d - коэффициент затухания, равный

изучение затухающих колебаний - student2.ru . (9’)

Уравнение (9) есть дифференциальное уравнение затухающих колебаний, при которых коэффициент затухания меньше собственной циклической частоты:

изучение затухающих колебаний - student2.ru .

Решение уравнения (9) имеет вид:

изучение затухающих колебаний - student2.ru , (10)

где изучение затухающих колебаний - student2.ru - круговая частота свободных (затухающих) колебаний, равная:

изучение затухающих колебаний - student2.ru . (11)

Таким образом, частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний системы.

Согласно (10) амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону:

изучение затухающих колебаний - student2.ru , (12)

где изучение затухающих колебаний - student2.ru - начальная амплитуда колебаний, изучение затухающих колебаний - student2.ru - амплитуда колебаний в момент времени изучение затухающих колебаний - student2.ru .

Отношение двух амплитуд, отстоящих на период, называют декрементом затухания:

изучение затухающих колебаний - student2.ru .

Натуральный логарифм отношения этих амплитуд называют логарифмическим декрементом затухания:

изучение затухающих колебаний - student2.ru . (13)

Для повышения точности измерения логарифмического декремента затухания обычно измеряют амплитуды колебаний, следующих друг за другом через изучение затухающих колебаний - student2.ru колебаний. В этом случае время колебаний изучение затухающих колебаний - student2.ru и

изучение затухающих колебаний - student2.ru ,

тогда:

изучение затухающих колебаний - student2.ru , и изучение затухающих колебаний - student2.ru . (14)

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА. Экспериментальная установка состоит из пружинного маятника и шкалы, по которой отсчитывается амплитуда колебания груза (рис. 1). Для исключения параллакса шкала снабжена зеркалом. Глаз при отсчете положения груза следует располагать так, чтобы изображение указателя положения груза в зеркале совпадало с самим указателем.

ЗАДАНИЕ. 1. Для определения жесткости пружины статическим методом следует измерить по шкале удлинение пружины при подвешивании к ней добавочного груза известной массы. Расчет жесткости производится согласно формуле:

изучение затухающих колебаний - student2.ru .

2. Сняв добавочный груз, следует оттянуть основной груз на 3-4 см вниз и, измерив время 50 полных колебаний, определить период колебаний маятника. Измерения повторить не менее трех раз и результат их усреднить.

3. Воспользовавшись соотношением (7), рассчитать жесткость пружины динамическим методом и сравнить ее значение с полученным ранее статическим методом.

4. Оттянуть груз на 6-8 см вниз от положения равновесия и, удерживая его в этом положении, измерить начальную амплитуду колебаний А0.Оттянуть груз и одновременно включить секундомер. Измерить промежуток времени, в течение которого совершится 150 полных колебаний, а также амплитуду последнего колебания Аn. Рассчитать логарифмический декремент затухания согласно формуле (14) и коэффициент затухания согласно формуле (13).

5. Зная массу колеблющегося груза и коэффициент затухания, рассчитать коэффициент сопротивления, используя формулу (9’).

6. Оценить погрешность измерений.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Часть 1. изучение затухающих колебаний - student2.ru м/с2.

D изучение затухающих колебаний - student2.ru , кг изучение затухающих колебаний - student2.ru , м изучение затухающих колебаний - student2.ru , Н/м
       

Часть 2. изучение затухающих колебаний - student2.ru м/с2, n=50, изучение затухающих колебаний - student2.ru

изучение затухающих колебаний - student2.ru , с изучение затухающих колебаний - student2.ru , Н/м
     

Часть 3. изучение затухающих колебаний - student2.ru м/c2, изучение затухающих колебаний - student2.ru изучение затухающих колебаний - student2.ru

Наши рекомендации