Изучение затухающих колебаний

1 Дифференциальное уравнение RLC-контура

2 Затухающие колебания

3 Параметры затухающих колебаний

Основные понятия по теме

На рисунке 10.1 показана электрическая цепь, используемая для изучения свободных электромагнитных колебаний. Ключ К сначала приводят в положение 1, при этом происходит зарядка конденсатора от источника постоянного напряжения ε₀. Затем ключ К переводят в положение 2, при этом источник ε₀ отключается от цепи, однако цепь остается замкнутой, и в ней возникают свободные электромагнитные колебания. При таких колебаниях происходит обмен энергией между конденсатором и катушкой, и этот процесс периодически повторяется, сопровождаемый тепловыми потерями. Другими словами, энергия электрического поля преобразуется в энергию магнитного поля и обратно, при этом часть энергии рассеивается в виде тепла.

ε0

Рисунок 10.1 – RLC-контур

Для такой цепи, содержащей R-, L- и C-элементы (рисунок 10.1), в которой происходят свободные (в отсутствие внешнего напряжения) электромагнитные колебания, согласно второму закону Кирхгофа, можно записать:

Здесь U_C– напряжение на конденсаторе,

э.д.с. самоиндукции, возникающая в катушке.

Выражая U_Cчерез заряд q, получим

Дифференцируя по времени и учитывая, что сила тока равна

получаем:

.

Вводя собственную частоту колебательной системы и коэффициент затухания γ = R/2L, перепишем уравнение в виде

.

Здесь точки обозначают дифференцирование по времени.

Решая это уравнение, можно показать, что, в зависимости от соотношения между параметрами ω₀ и γ, возможны следующие типы колебаний в контуре:

I

I1

I2

t1

t2

t

I0

а) затухающие колебания, которые имеют место в случае ω ₀² _– γ² > 0. При этом зависимость силы тока от времени имеет вид I = I₀ e^-γt×cos(ωt+δ), где – частота, δ – начальная фаза колебаний, I₀ – их начальная амплитуда (рисунок 10.2).

Рисунок 10.2 – График затухающих колебаний в контуре

Величины δ и I₀ могут быть определены из начальных условий. Для характеристики затухающих колебаний вводятся также такие величины, как период колебаний («повторения нулей»)

,

логарифмический декремент затухания, который показывает уменьшение амплитуды за период колебаний

,

и добротность контура, физический смысл которой заключается в отношении запасенной в контуре энергии к энергии потерь за период колебаний

Здесь I_n и I_n+1 – значения силы тока в моменты времени, отстоящие друг от друга на один период колебаний;

б) апериодическое затухание силы тока в контуре, которое наблюдается в случае ω₀² – γ² < 0. При этом сила тока монотонно убывает до нуля по закону , где и , А и В – величины, определяемые из начальных условий (рисунок 10.3).

t

I

А+В

Рисунок 10.3 – Апериодические затухания силы тока в контуре

в) критический режим изменения силы тока, который имеет место при выполнении соотношения ω₀² – γ² = 0 и представляет собой предельный случай рассмотренных выше затухающих колебаний и апериодического режима. При этом зависимость силы тока от времени можно записать в виде

I = (A + Bt)e ^–γt,

где значения постоянных А и В определяются из начальных условий. График зависимости в случае А = 0, В ¹ 0 и А ¹ 0 , В = 0 представлен на рисунке 10.4.

Сопротивление , при котором выполняется соотношение

ω₀² - γ² = 0, называется критическим сопротивлением.

В=0

А=0

t

I

Рисунок 10.4 – График зависимости

в случаях А ¹ 0, В = 0 и А = 0, В ¹ 0 при критическом режиме

Если колебательный процесс изучать в системе координат I–U, где I – сила тока в контуре, U – напряжение на конденсаторе, то плоскость I–U называют фазовой плоскостью, а кривую, изображающую такую зависимость, называют фазовой кривой (рисунок 10.5).

При затухающих колебаниях амплитуда напряжения и силы тока в контуре убывает, а фазовая кривая превращается в спираль, приближающаяся к фокусу 0. При R ≥ R_кр колебательный процесс прекращается, и спираль превращается в окружность.

I

U

U0

Рисунок 10.5 – Колебательный процесс на фазовой плоскости

Вопросы для самоконтроля

1 Приведите уравнение, описывающее затухающие колебания в контуре, содержащем R, L и C.

2 Охарактеризуйте следующие параметры: коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность контура.

3 Приведите определение критического сопротивления R_кр контура.

Лабораторная работа 10