Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера

В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера, б) матричным способом, в) методом Гаусса.

3.3.1. Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru 3.3.2. Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru

В задачах 3.3.3–3.3.4 решить линейные системы матричным способом.

3.3.3. Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru 3.3.4. Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru

В задачах 3.3.5–3.3.10 решить линейные системы методом Гаусса.

3.3.5. Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru 3.3.6. Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru
3.3.7. Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru 3.3.8. Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru

РАНГ МАТРИЦЫ

Основные понятия и формулы

Понятие ранга

В Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru -матрице Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru выберем Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru строк с номерами Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru и столько же столбцов с номерами Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru . Определитель матрицы из элементов, находящихся в этих строках и столбцах, обозначим Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru и назовем минором Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru -го порядка матрицы Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru . Например, у матрицы Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru три минора 2-го порядка:

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru .

Рангом (ненулевой) матрицы называется наибольший из порядков ненулевых миноров. Ранг матрицы Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru мы будем обозначать Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru . Таким образом, равенство Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru означает, что у матрицы Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru есть ненулевой минор порядка Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru , а все миноры больших порядков, если они имеются, равны нулю (см. пример 4.2.1). Ранг характеризует степень «вырожденности» матрицы. Например, для квадратной матрицы Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru -го порядка крайние случаи: нулевая матрица Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru самая «вырожденная», у нее все миноры нулевые и естественно считать Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru 0; и невырожденная матрица Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru с Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru , ее ранг Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru .

Так как миноров у матрицы даже небольших размеров много, то нахождение ранга по определению связано с громоздкими вычислениями. Для нахождения ранга можно применять элементарные преобразования матриц, аналогичные элементарным преобразованиям систем, описанным в п. 3.1.3:

а) перестановки любых двух строк местами;

б) прибавление к строке другой строки, умноженной на число;

в) удаление строки, состоящей из нулей;

г) те же действия, что и в пунктах а)–в), для столбцов.

При этих преобразованиях ненулевые миноры переходят в ненулевые и потому они не меняют ранга. После преобразований получим матрицу вида

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru ,

у которой минор

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru

и потому ранг равен Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru (см. пример 4.2.2).

Матрицы Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru называются эквивалентными (обозначение Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru ), если у них одинаковый ранг: Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru .

Совместность линейной системы и ранг

Для произвольной линейной системы (3.1) из Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru уравнений с Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru неизвестными, наряду с основной матрицей системы Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru размера Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru , рассмотрим расширенную матрицу Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru размера Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru , полученную добавлением к Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru справа столбца Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru свободных членов. Ясно, что Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru .

Теорема Кронекера-Капелли. Линейная система совместна тогда и только тогда, когда ранги основной и расширенной матриц системы совпадают: Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru .

Можно показать, что при решении системы методом Гаусса число уравнений Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru в преобразованной системе (3.5) является рангом матриц Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru .

Примеры решения задач

4.2.1.Пользуясь определением, найти ранги матриц

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru .

◄ 1) Так как ранг матрицы – наибольший из порядков ненулевых миноров, то надо начать с нахождения миноров самого большого порядка – второго.

Найдем минор второго порядка матрицы Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru , из элементов, взятых из строк с номерами 1 и 2 и столбцов с номерами 1 и 2: Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru . Он, увы, нулевой. Найдем еще один минор второго порядка Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru . Он нулю не равен. Поэтому Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru .

2) У матрицы Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru все миноры наибольшего – второго порядка – нулевые:

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru .

Поэтому надо проверять миноры первого порядка – элементы матрицы. Например, Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru . Поскольку есть ненулевой минор первого порядка, а все миноры большего порядка нулевые, то Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru .

3) У матрицы Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru единственный минор наибольшего – третьего порядка Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru . Поэтому Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru . ►

4.2.2.Найти ранг матрицы Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru .

◄ Будем делать элементарные преобразования матриц, не меняющие ранга:

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru .

Шаг 1. Первую строку оставили неизменной, ко второй прибавили первую, умноженную на (–1), к третьей прибавили первую, умноженную на (–3), к четвертой прибавили первую, умноженную на (–2).

Шаг 2. Первую и вторую строки оставили неизменными, к третьей прибавили вторую, умноженную на (–1), к четвертой прибавили вторую, умноженную на (–2).

Шаг 3. Удалили нулевые строки.

В итоге получили Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru -матрицу Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru , эквивалентную матрице Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru , у которой минор второго порядка Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru . Поэтому Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru .

Заметим, что, если бы мы попытались найти ранг по определению, то нам бы пришлось сначала вычислить все 10 миноров четвертого порядка, которые равны нулю, потом 20 миноров третьего порядка, тоже равные нулю, пока не обнаружим ненулевой минор второго порядка. ►

4.2.3.При каких значениях параметра Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru линейная система

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru

совместна?

◄ Выпишем расширенную матрицу системы Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru .

Слева от вертикальной черты у нас выписана и основная матрица. Будем вычислять одновременно ранги обеих матриц, делая элементарные преобразования только со строками:

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru .

Шаг 1. Первую строку оставили неизменной, ко второй прибавили первую, умноженную на (–1), к третьей прибавили первую, умноженную на (–2).

Шаг 2. Первую и вторую строки оставили неизменными, к третьей прибавили вторую, умноженную на (–1).

У преобразованной основной матрицы Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru можно удалить нулевую строку и ее ранг – 2. При Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru у преобразованной расширенной матрицы тоже нулевая строка и ее ранг – 2. По теореме Кронекера-Капелли при Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru система совместна. При Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru минор третьего порядка расширенной матрицы

Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru .

Поэтому ранг расширенной матрицы равен 3. Он не совпадает с рангом основной матрицы. Согласно теореме Кронекера-Капелли при Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru система несовместна.

Наши действия с расширенной матрицей можно рассматривать как прямой ход метода Гаусса (см. п. 3.1.3). При Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru получаем уравнение Задачи для самостоятельного решения. В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера - student2.ru , не имеющее решения, что влечет несовместность системы. ►

Наши рекомендации