Минимизация случайной погрешности

Уменьшить случайную погрешность можно, определяя оценку математического ожидания многократных наблюдений измеряемой величины Х. В этом случае за результат измерения, как правило, принимается среднее арифметическое результатов наблюдений

.

Поскольку определяется по конечному числу наблюдений, то является случайной величиной.

Дисперсия среднего арифметического результатов наблюдений в n раз меньше дисперсии однократного наблюдения

Поэтому, принимая за результат измерения , можно ожидать уменьшения случайной погрешности.

Границы погрешности среднего арифметического будут, очевидно, определяться выражением

. (2.47)

Для определения границ погрешности среднего арифметического необходимо знать его закон распределения.

Центральная предельная теорема теории вероятности гласит: если имеется n независимых случайных величин распределенных по одному и тому же закону с математическим ожиданием и дисперсией , то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному. Считается, что при n > 20…30 центральная предельная теорема соблюдается, поэтому в этом случае значения доверительного коэффициента в выражении (2.47) берется из таблицы для нормального распределения.

Если n < 20…30, то распределение уже нельзя считать нормальным. Как же определить для этого случая?

Доверительная вероятность для равна

.

Деля обе части неравенства на

,

получаем

. (2.48)

Обозначим , тогда

где - интегральная функция распределения величины Т.

Закон распределения Т зависит от закона распределения и числа наблюдений n.

Из теории вероятности известно, что если величина распределена по нормальному закону, то величина Т распределена по так называемому закону Стьюдента с k = (n-1) степенью свободы.

Плотность распределения Стьюдента имеет вид (рис.2.12)

.

С ростом n распределения Стьюдента приближается к нормальному и при n>20…30 уже неотличимо от него (рис 2.13).

Таким образом, если известно, что результаты отдельных наблюдений распределены по нормальному закону, то при числе наблюдений n=2…20 при определении границ случайной погрешности доверительный коэффициент берется из таблиц распределения Стьюдента для (n-1)-й степени свободы и заданной доверительной вероятности . Зависимость коэффициента Стьюдента приведена на рис. 2.13 и в табл. А5.

При отсутствии таблиц с распределением Стьюдента, значение коэффициента для n=6…20 можно определить приближенно (с погрешностью до 20%) по формуле

,

где - доверительный коэффициент для нормального распределения.

Более точно (с погрешностью не более 5%) значение коэффициента для n > 4 и > 0,9 можно аппроксимировать выражением

2.4 Грубые погрешности и промахи

Грубые погрешности и промахи являются особым видом случайных погрешностей. Грубые погрешности вызваны, как правило, резкими кратковременными изменениями условий измерений: механическими толчками, вибрациями, колебаниями внешних условий, скачками питающего напряжения. Промахи относятся к личным погрешностям и обусловлены неправильными действиями оператора (некорректное считывание показаний прибора, неправильной их записью и т.п.) И те, и другие погрешности вызывают заметные отличия в результатах наблюдений. Такие “подозрительные” результаты не подчиняются закону распределения основной массы результатов наблюдений и должны быть устранены из их числа.

Обнаружение грубых погрешностей и промахов производится с помощью специальных критериев, основанных на аппарате математической статистики.