Законы распределения случайной погрешности

Функция (математическое выражение), связывающая значение случайной погрешности с вероятностью его появления называется законом распределения.

Закон распределения может быть представлен в виде функции распределения F(x) или чаще в виде ее производной – плотности распределения f(x) (рис.4).

Рис.4. Функция плотности распределения

Площадь под кривой f(x) равна 1, т.е.

Вероятность попадания случайной величины в заданные пределы равна площади под кривой между этими пределами (см. рис.4).

где х* - числовое значение случайной величины.

Одним из наиболее распространенных законов распределения является нормальный закон Гаусса, имеющий место, когда погрешность является суммой составляющих, влияние которых незначительно и сопоставимо по величине. При этом неважно, какому закону распределения подчинены отдельные составляющие погрешности. Для анализа авиационных погрешностей этот закон подходит в подавляющем числе случаев.

Для того чтобы определить вероятность попадания случайной погрешности, подчиняющейся нормальному закону распределения, в заданные пределы удобно использовать табулированную функция Лапласа Ф(х), представленную в табл. 3.

Функция Лапласа монотонно возрастающая, нечетная, т.е.

Ф(- х) = - Ф(х); Ф(0) = 0; Ф (+_∞) = 1.

С помощью данной функции вероятность попадания случайной погрешности в пределы от а до bопределяется следующим образом:

(1)

Если m_x= 0, а пределы симметричны ( т.е. |a| = |b| = с), то формула упрощается:

(2)

Точность определения местоположения воздушного судна (места ВС)характеризуется радиусом от измеренного местоположения, в пределах которого с определенной вероятностью находится истинное место ВС.

Таблица 3

Таблица Лапласа

ХЛапласаX	Ф(х)	X	Ф(х)	X	Ф(х)	X	Ф(х)	X	Ф(х)	X	Ф(х)
0,00	0,0000		0,3108	0,80	0,5763	1,20	0,7699	1,60	0,8904	2,00	0,9545
0,01	0,0060	0,41	0,3182	0,81	0,5821	1,21	0,7737	1,61	0,8926	2,05	0,9596
0,02	0,0160	0,42	0,3255	0,82	0,5878	1,22	0,7775	1,62	0,8948	2,10	0,9643
0,03	0,0239	0,43	0,3328	0,83	0,5935	1,23	0,7813	1,63	0,8969	2,15	0,9684
0,04	0,0319	0,44	0,3401	0,84	0,5991	1,24	0,7850	1,64	0,8990	2,20	0,9722
0,05	0,0399	0,45	0,3473	0,85	0,6047	1,25	0,7887	1,65	0,9011	2,25	0,9756
0,06	0,0478	0,46	0,3545	0,86	0,6102	1,26	0,7923	1,66	0,9031	2,30	0,9786
0,07	0,0558	0,47	0,361	0,87	0,6157	1,27	0,7959	1,67	0,9051	2,35	0,9812
0,08	0,0638	0,48	0,3668	0,88	0,6211	1,28	0,7995	1,68	0,9070	2,40	0,9836
0,09	0,0717	0,49	0,3759	0,89	0,6265	1,29	0,8029	1,69	0,9090	2,45	0,9857
0,10	0,0797	0,50	0,3829	0,90	0,6319	1,30	0,8064	1,70	0,9109	2,50	0,9876
0,11	0,0876	0,51	0,3899	0,91	0,6372	1,31	0,8098	1,71	0,9127	2,55	0,9892
0,12	0,0955	0,52	0,3969	0,92	0,6424	1,32	0,8132	1,72	0,9146	2,60	0,9907
0,13	0,1034	0,53	0,4039	0,93	0,6476	1,33	0,8165	1,73	0,9164	2,65	0,9920
0,14	0,1113	0,54	0,4108	0,94	0,6528	1,34	0,8198	1,74	0,9181	2,70	0,9931
0,15	0,1192	0,55	0,4177	0,95	0,6579	1,35	0,8230	1,75	0,9199	2,75	0,9940
0,16	0,1271	0,56	0,4245	0,96	0,6629	1,36	0,8262	1,76	0,9216	2,80	0,9949
0,17	0,1350	0,57	0,4313	0,97	0,6680	1,37	0,8293	1,77	0,9233	2,85	0,9956
0,18	0,1428	0,58	0,4381	0,98	0,6729	1,38	0,8324	1,78	0,9249	2,90	0,9963
0,19	0,1507	0,59	0,4448	0,99	0,6778	1,39	0,8355	1,79	0,9265	2,95	0,9968
0,20	0,1585	0,60	0,4515	1,00	0,6827	1,40	0,8385	1,80	0,9281	3,00	0,9973
0,21	0,1663	0,61	0,4581	1,01	0,6875	1,41	0,8415	1,81	0,9297	3,10	0,9980
0,22	0,1741	0,62	0,4647	1,02	0,6923	1,42	0,8444	1,82	0,9312	3,20	0,9986
0,23	0,1819	0,63	0,4713	1,03	0,6970	1,43	0,8473	1,83	0,9328	3,30	0,9990
0,24	0,1897	0,64	0,4778	1,04	0,7017	1,44	0,8501	1,84	0,9342	3,40	0,9993
0,25	0,1974	0,65	0,4843	1,05	0,7063	1,45	0,8529	1,85	0,9357	3,50	0,9995
0,26	0,2051	0,66	0,4937	1,06	0,7109	1,46	0,8557	1,86	0,9371	3,60	0,9996
0,27	0,2128	0,67	0,4971	1,07	0,7154	1,47	0,8584	1,87	0,9385	3,70	0,9997
0,28.	0,2205	0,68	0,5035	1,08	0,7199	1,48	0,8611	1,88	0,9399	3,80	0,9998
0,29	0,2282	0,69	0,5098	1,09	0,7243	1,49	0,8638	1,89	0,9412	3,90	0,9999
	0,2358	0,70	0,5161	1,10	0,7287	1,50	0,8664	1,90	0,9426	4,00	0,9999
0,31	0,2434	0,71	0,5223	1,11	0,7330	1,51	0,8690	1,91	0,9439	4,417	1 -10'⁵
0,32	0,2510	0,72	0,5285	1,12	0,7373	1,52	0,8715	1,92	0,9451
0,33	0,2586	0,73	0,5346	1,13	0,7415	1,53	0,8740	1,93	0,9464	4,892	1-10'⁶
0,34	0,2661	0,74	0,5407	1,14	0,7457	1,54	0,8764	1,94	0,9476
0,35	0,2737	0,75	0,5467	1,15	0,7499	1,55	0,8789	1,95	0,9488	5,327	1 -10’⁷
0,36	0,2812	0,76	,0,552	1,16	0,7540	1,56	0,8812	1,96	0,9500
0,37	0,2886	0,77	0,5587	1,17	0,7580	1,57	0,8836	1,97	0,9512
0,38	0,2961	0,78	0,5646	1,18	0,7620	1,58	0,8859	1,98	0,9523
0,39	0,3035	0,79	0,5705	1,19	0,7660	1,59	0,8882	1,99	0,9534

Для практических расчетов часто используется радиальная среднеквадратическая погрешность σ_г, которая подчиняется закону кругового распределения Релея. В соответствии с этим законом вероятность попадания МС в круг заданного радиуса (R_зад)определяется по формуле:

р (r* <R_зад) = 1 – е^R^зад/σ^r^²(3)

Как известно, место самолета может быть определено пересечением двух линий положения. Наиболее распространенными видами линий положения являются линия равных пеленгов самолета (ЛРПС) и линия равных расстояний (ЛРР).

Погрешность измерения навигационного параметра (пеленга или дальности) приводит к погрешности линии положения. Средняя квадратическая погрешность линий положения определяется:

- для ЛРПС : σ_р = 0,0175 Dσ_п;

- для ЛРР : σ_р= σ_D,

где σ_р- СКП линии положения;

σ_п - СКП измерения пеленга ( азимута, радиала);

σ_D- СКГ1 измерения дальности;

D- дальность от угломерного средства до ВС.

Зная СКП линий положения можно определить радиальную СКП поформуле:

(4)

где ω - угол пересечения линий положения.