Теорема 4 (Больцано-Вейерштрасса)

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Из теоремы 3 следует, что сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.

Из теоремы 4 следует, что всякая ограниченная последовательность имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

Определение 5. Наибольшая (наименьшая) предельная точка последовательности , ограниченной сверху (снизу), называется верхним (нижним) пределом этой последовательности и обозначается .

Очевидно, если сходится, то . Если последовательность не ограничена сверху (снизу), то полагают .

Пример 2.Доказать расходимость последовательности .

Решение.Рассмотрим две подпоследовательности этой последовательности и ( ). Очевидно, что , . Таким образом, последовательность имеет две предельные точки: и , а поэтому не может быть сходящейся, поскольку сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку.

Пример 3.Найти все предельные точки последовательности , верхний и нижний пределы этой последовательности.

Решение.Каждое из чисел , , , , , встречается в последовательности бесконечно много раз, поскольку . Поэтому каждое указанное число является предельной точкой последовательности . Других предельных точек последовательность не имеет, так как если число не совпадает ни с одним из этих 181 чисел, то существует окрестность точки , не содержащая ни одного члена последовательности. Из найденных 181 предельных точек наименьшей является , а наибольшей 1, т.е. , .