Вторая теорема Больцано-Коши

Лекция 7. Функции, непрерывные на сегменте (продолжение)

План

Первая теорема Больцано-Коши

Вторая теорема Больцано-Коши

Первая теорема Больцано-Коши

Теорема 1.Пусть функция Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru определена и непрерывна на Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , а на концах сегмента принимает значения разных знаков, то есть Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru . Тогда существует такая точка Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , что Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru .

Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru Доказательство. Пусть для определенности Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru . Разобьем Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru точкой Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru пополам (рис.1). Если Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , то все доказано. Если Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , то на концах одного из сегментов Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru функция будет иметь значения разных знаков. Выберем именно этот сегмент и обозначим его Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru (рис.1). Для него: Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru . Будем обозначать длину сегмента Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru как Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru . Тогда Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru .

Сегмент Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru поделим пополам точкой Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru . Если Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , то все доказано. Если Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , то на концах Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru или Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru функция Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru будет иметь значения разных знаков. Выберем именно этот сегмент и обозначим его Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru . Для него: Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru .

Продолжим этот процесс. Тогда на Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru м шаге возможны две ситуации:

1. Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , тогда все доказано;

2. Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru . На концах Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru или Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru функция Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru будет иметь значения разных знаков. Выберем именно этот сегмент и обозначим его Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru . Для него: Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru .

Предположим, что ни на каком шаге функция Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru в средней точке рассматриваемого сегмента не имеет значения 0. В ходе доказательства мы получили бесконечную последовательность вложенных сегментов:

Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , (1)

для которых Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , поэтому

Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru . (2)

Из (2) по определению границы последовательности вытекает, что

для Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , что для Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru : Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , т.е. для Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru в построенной последовательности (1) вложенных сегментов существуют такие, длина которых будет меньше Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru . Тогда по лемме о вложенных сегментах из этого будет вытекать, что последовательность (1) вложенных сегментов имеет лишь одну общую точку. Обозначим эту точку Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru ; для Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru : Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , а поскольку длины сегментов стремятся к нулю, когда Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru (равенство (2)), то

Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru . (3)

Из (3) очевидно, что мы имеем две сходящихся последовательности: Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , которые сходятся к точке Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru . Поскольку по условию теоремы функция Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru непрерывна везде на Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , то она непрерывна и в точке Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru . Тогда по определению непрерывности функции по Гейне:

Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru

Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru

Поскольку для Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru : Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , то

Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru . (4)

Поскольку для Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru : Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , то

Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru . (5)

Сравнивая (4) и (5), имеем:

Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru .

Таким образом, искомая точка найдена, теорема доказана.

Вторая теорема Больцано-Коши

Теорема 2. Пусть функция Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru определена и непрерывна на Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru . Тогда для Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , что

Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru .

Доказательство. Пусть для определенности Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru (если Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru совпадает с Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru или с Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , тогда как Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru можно взять Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru или Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru - все доказано).

Построим вспомогательную функцию

Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru .

Рассмотрим ее на Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru . На этом сегменте Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru - непрерывна, потому что является разностью двух непрерывных функций Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru и Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , к тому же:

Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru ,

Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru ,

т.е. на концах сегмента Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru функция Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru принимает значения разных знаков. Тогда по предыдущей теореме Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , что Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , т.е. Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , а тогда Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , что и нужно было доказать.

Следствие. Пусть функция Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru определена и непрерывна на Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , тогда множество ее значений - сегмент.

Доказательство. По второй теореме Вейерштрасса Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru достигает на Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru своих супремума и инфимума. Обозначим:

Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru .

Тогда

Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru ;

Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru .

По второй теореме Больцано-Коши функция Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru принимает все промежуточные значения, которые находятся между Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru и Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , то есть областью значений Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru является сегмент Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , что и нужно было доказать.

Вопросы

1. Может ли непрерывная на сегменте функция не принимать нулевого значения ни в одной точке сегмента? Ответ объяснить.

2. Может ли непрерывная на интервале функция не принимать нулевого значения ни в одной точке сегмента? Ответ объяснить.

3. Пусть функция Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru определена и непрерывна на Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , а на концах сегмента принимает значения одного знака. Вытекает ли из этого, что функция не принимает нулевого значения ни в одной точке сегмента? Ответ объяснить.

4. Пусть функция Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru определена и непрерывна на Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , а на концах сегмента принимает значения разных знаков. Вытекает ли из этого, что функция принимает нулевое значение в какой-то точке сегмента? Ответ объяснить.

5. Доказать первую теорему Больцано-Коши.

6. Доказать, не решая уравнение непосредственно, что уравнение Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru обязательно будет иметь корень на сегменте Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru .

7. Пусть функция Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru определена и непрерывна на Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , а на концах сегмента принимает значения разных знаков. Сколько корней может иметь уравнение Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru ? Ответ объяснить.

8. Пусть функция Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru определена на Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru , а множество ее значений – это Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru . Что можно сказать о непрерывности Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru на Вторая теорема Больцано-Коши - student2.ru ? Почему?

9. Доказать вторую теорему Больцано-Коши.

10. Доказать следствие из второй теоремы Больцано-Коши.

Наши рекомендации