Примеры. 1. Найти производные сложных функций:

1. Найти производные сложных функций:

а) ; ; .

Здесь - сложная функция одной независимой переменной . Пользуясь формулой (2), получим:

б) ; ; .

Здесь - сложная функция двух независимых переменных и . Пользуясь общими формулами (1), найдем:

в) ; ; .

Здесь - сложная функция одной независимой переменной . Пользуясь формулой (2) для полной производной, получим:

.

2. Найти и , если ; ; .

;

.

8. Дифференцирование неявных функций

1°. Переменная называется неявной функцией нескольких переменных , если она задана уравнением

которое не разрешено относительно .

При этом если функция и ее частные производные , , …, , , определены и непрерывны в некоторой точке и вблизи нее, и если , а , то уравнение вблизи точки и в самой этой точке определяет функцию как однозначную, непрерывную и дифференцируемую функцию от .

Для вычисления частных производных , , …, нет необходимости выражать в явном виде.

Производные неявной функции , заданной уравнением , при соблюдении указанных выше условий, определяют по формулам:

; … (1)

В частности, если - неявная функция одной независимой переменной , уравнением , то ее производная:

(2)