Формулы Тейлора и Маклорена

Свойства степенных рядов

Определение. Пусть функция является суммой степенного ряда

, (2.5.1)

интервал сходимости которого . Тогда говорят, что на интервале функция разлагается в степенной ряд, или в ряд по степеням х, и можно записать:

(2.5.2)

Если функция является суммой степенного ряда

, (2.5.3)

то говорят, что функция разлагается в ряд по степеням . Записывается аналогично:

Теорема о дифференцировании степенных рядов

Если функция на интервале разлагается в степенной ряд (2.5.1), то она дифференцируема на этом интервале и её производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда (2.5.1), т.е.

Без доказательства.

Аналогично могут быть вычислены производные любого порядка функции . При этом соответствующие ряды имеют тот же интервал сходимости, что и ряд (2.5.1).

Теорема об интегрировании степенных рядов

Если функция на интервале разлагается в степенной ряд (2.5.1), то она интегрируема на этом интервале и определённый интеграл от неё может быть вычислен почленным интегрированием ряда (2.5.1), т.е. если , то

Если - постоянные числа, то получаем числовой ряд. Если одно из них переменно, то - функциональный (степенной). Особый интерес представляет интегрирование степенного ряда (2.5.1) по отрезку , где х - переменная, . Тогда , и новый ряд равен

Полученный степенной ряд имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (2.5.1).

Разложение функций в степенные ряды.

Ряды Тейлора и Маклорена

Теорема о единственности разложения функции

В степенной ряд

Если функция на интервале разлагается в степенной ряд

, (2.6.1)

то это разложение единственно.

Доказательство.По условию ряд сходится на интервале и функция - его сумма. Следовательно, по теореме о дифференцировании степенных рядов ряд (2.6.1) можно почленно дифференцировать на интервале любое число раз.

Дифференцируя, получаем:

…………………………………………………………

Здесь нужно заметить, что в свободных членах индексы и факториалы имеют п-й порядок, т.е. тот же порядок, что и производная, а при х в первой степени(п+1)-й порядок.

Полагая в полученных равенствах и в равенстве (2.6.4) , имеем:

Отсюда

(2.6.2)

Таким образом, все коэффициенты ряда (2.6.1) определяются единственным образом формулами (2.6.2), что и доказывает теорему.

Подставляя полученные выражения коэффициентов в равенство (2.6.1), получаем:

(2.6.3)

Итак, если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид (2.6.3), который называется рядом Маклорена для функции .

Если функция разлагается в ряд вида (2.5.3), то соответствующий ряд

(2.6.4)

называется рядом Тейлора. Таким образом, ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора, когда .

Формально ряды Тейлора и Маклорена можно составить для любой функции, имеющей производные любого порядка, и для любой точки из области дифференцируемости, однако полученные ряды не обязательно будут сходиться к этой функции; они могут вообще расходиться. Поэтому, составив такой ряд, вначале не ставят знака равенства между функцией и рядом, а заменяют его знаком соответствия "~":

Говорят, что функция разлагается в ряд Тейлора на интервале (a-R, a+R) , если выполняются два условия:

1) на этом интервале ряд сходится;

2) сумма ряда равна функции . В этом, и только в этом случае пишут знак равенства "=" вместо знака соответствия "~" между и рядом, т. е.

. (2.6.5)

Формулы Тейлора и Маклорена

Брук Тейлор (Taylor, 1685-1731) - английский математик. Формула Тейлора позволяет приближённо представить любую функцию с помощью многочлена (полинома) п-й степени, причем ошибка без труда находится и оценивается. Следует различать формулы Тейлора и Маклорена и ряды с такими же названиями.

Теорема Тейлора

Пусть функция имеет в точке а и некоторой её окрестности производные порядка п+1. Пусть х - любое значение аргумента из указанной окрестности, . Тогда между точками а и х найдется точка x такая, что справедлива следующая формула:

(2.7.1)

Без доказательства.

Замечание. При п=0 получаем частный случай - формулу Лагранжа:

Таким образом, можно сказать, что формула Тейлора есть обобщение формулы Лагранжа на случай п производных.

Формула (2.7.1) называется формулой Тейлора, а последнее слагаемое в ней - остаточным членом в форме Лагранжа. Таким образом,

. (2.7.2)

Приведем еще одну форму записи остаточного члена - в форме Пеано (Пеано Джузеппе, Peano, 1858-1932).

при . (2.7.3)

Тогда формула Тейлора примет вид:

При формула Тейлора (2.7.1) превращается в формулу Маклорена:

(2.7.4)

Остаточный член имеет вид: