Аналитическое решение дифференциальных уравнений.

Преобразуем каждое уравнение: перенесем неизвестные в левую часть уравнения, разделим каждое уравнение на коэффициент, стоящий перед второй производной (на массу m) и подставим численные значения: m = 60, k = 12.

1. Решаем уравнение (1).

Уравнение (1) является однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Для его решения составим характеристическое уравнение

.

Корни этого уравнения:

r (r+0,2) = 0, откуда r₁ = 0, r₂ = - 0,2.

Корни характеристического уравнения – действительные, следовательно, решение уравнения (1) записывается в виде

(3)

С₁ и С₂ – постоянные интегрирования.

Определим С₁ и С₂. Для этого сначала находим

(4)

Уравнения (3) и (4) справедливы при любом значении t, следовательно, они справедливы при t = 0 . Подставим в уравнения (3) и (4) начальные условия:

Получим: 0 = С₁+ С₂, т.е. С₁ = - С₂.

16,74 = - 0,2 С₂,

откуда С₂ = - 83,7; С₁ = - С₂ =83,7.

Подставим значения С₁ и С₂ в уравнения (3) и (4), получим уравнение движения точки по оси х и проекцию скорости на ось х в зависимости от времени

(5)

2. Решаем уравнение (2)

(2)

Уравнение (2) является неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Решение этого уравнения равно

у = у₁ +у₂,

где у₁ –решение соответствующего однородного уравнения

, (3)

у₂ - частное решение уравнения (2).

Решаем однородное уравнение (3), записываем соответствующее ему характеристическое уравнение

,

где μ -корень этого характеристического уравнения, как и в первом случае, получаем

μ₁ = 0, μ₂ = - 0,2.

Тогда

Правая часть уравнения (2) – постоянное число, частное решение ищем в виде: , где А и В – коэффициенты, подлежащие определению. Подставим у₂ в уравнение (2), вычислив предварительно входящие в него первую и вторую производные по времени

, тогда .

Откуда А = - 49, В = 0 поскольку не входит в уравнение, тогда

у₂ = - 49,05 t.

Следовательно, полное решение уравнения (2) принимает вид

. (4)

Определяем постоянные интегрирования С₃ и С₄. Для этого сначала находим проекцию скорости на ось у

. (5)

Подставим в уравнения (4) и (5) начальные условия: t = 0, y₀ = 0,

V_y = 6,156

Откуда С₃ = - С₄, С₄ = - 276,03, С₃ = 276,03.

Тогда

Таким образом, движение точки описывается уравнениями

(6)

(7)

Проекции скорости на оси координат равны

(8)

(9)
Полученные уравнения требуют наглядной геометрической интерпретации, поэтому необходимо построить по уравнениям (6) и (7) построить траекторию движения лыжника в воздухе. Строим график траектории движения точки в программе Mathcad.

Для построения траектории движения точки, представляющей собой график функции у = у(х), вызывается команда Plot,т.е.двумерный график в декартовой системе координат, находящийся в меню Graph.Строим траекторию (рис.4), соответствующую дифференциальным уравнениям (5) лыжника при его движении в воздухе в течение 4 секунд.

	Рис . 4

2. Решение дифференциальных уравнений

с помощью программы Mathcad не требует их предварительного преобразования.

Введем в программу заданные величины

m:=60 g:=9.81 k:=12 Vo:=18 α:= 20deg

Решение уравнений выполняем с помощью функции Odesolve. Для этого необходимо сделать следующее:

а) Внутри решающего блока записать уравнения и начальные условия.

б) Обратиться к функции Odesolve c тремя параметрами: первый – массив имен функций ( в нашем случае - ), второй – имя независимой переменной (t), третий – конечная точка интегрирования t_k.

Стром траекторию движения точки, представляющей собой график функции у = у(х), получаем траекторию движения лыжника, полностью совпадающую и изображением на рис.4.

Далее определяем все кинематические характеристики движения лыжника в воздухе .

По условию задачи лыжник приземляется на наклонную плоскость (рис.5), которая проходит через точку D с координатами и образует с горизонтальной плоскостью угол 40⁰. Построим график этой плоскости в той же графической области, в которой построен график траектории лыжника, обозначив координаты прямой х₁ и у₁. Для этого составим уравнение наклонной плоскости, установив зависимость между координатами х₁ и у₁ произвольной точки K, принадлежащей этой прямой (рис. 5).

;

.

Записываем уравнение прямой в программе Matchad.

	Рис. 6

Рис. 6

Рис. 6

Определим время нахождения лыжника в воздухе. На рис. 6 построены график траектории движения лыжника в воздухе и график наклонной плоскости, на которую он приземляется, в период времени от t₀ = 0 до t_k = 4 c. Точка пересечения двух графиков соответствует значению T ˂ t_k.

	Рис. 7

Для того, чтобы определить точку пересечения траектории лыжника и наклонной плоскости, в приведенной выше программе Mathcad необходимо подобрать значение t, уменьшая его до значения, при котором траектория лыжника коснется наклонной плоскости. Выражение t:= 0,0.001..3.88определяет конечное время движения лыжника в воздухе: T = 3.88 c. При этом значении (рис.7) лыжник касается наклонной плоскости.

Определим дальность d и высоту полета в воздухе h, определяя значения координат х и у при Т =3.88 с.в программе Matchad

Таким образом, дальность полета равна d = 45, 648 м, высота - h = 41,264 м.

По условию задачи осталось определить скорость движения лыжника в воздухе. Построим годограф скорости (рис .8), дополнив массив (6) производными по времени от функций x(t) и y(t) и указав интервал изменения времени.

	Рис. 8

На рис. 8 представлен годограф скорости, представляющий собой отрезок прямой. Для того, чтобы показать векторы скорости в начальный и конечный моменты движения, необходимо распечатать полученный график, а затем начало координат соединить с началом и концом годографа (рис. 9). Разложим по координатным осям вектор конечной скорости V_C, получим его составляющие V_Cх и V_Cу.

V0

VCу

VC

VCх

Рис. 9

Вычислим в программе Mathcad значения проекций скорости и его модуля в конечный момент времени.

Построим графики зависимостей скорости и ускорения от времени

	Рис. 10

Рис. 11

Таким образом, в момент касания лыжником наклонной плоскости его скорость равна почти 25 м/с, а ускорение 5,3 м/с².

2. Движение лыжника без учета силы сопротивления.

Определим, как изменятся параметры движения, если силой сопротивления пренебречь.

Начальные условия этого движения не изменились

Дифференциальные уравнения движения лыжника в воздухе без учета силы сопротивления принимают вид

или

Из первого уравнения следует, что проекция скорости на ось х сохраняется остается постоянной и равной начальному значению

Определяем координату х

Подставим начальные значения: получим уравнение движение относительно оси х

x=16,74 t.

Решаем второе уравнение (в), заменив

Подставляем начальные условия получаем С₂ = 4,78.

Следовательно,

Заменим , получим

Разделим переменные и проинтегрируем

Подставим начальные условия , получим С₂ = 0, следовательно,

Таким образом, движение лыжника описываются уравнениями

Эти уравнения в координатной форме представляют собой уравнения параболы. Выразим из уравнения (7) значение t и подставим его в уравнение (8), получим уравнение параболы в явном виде

Построим эту кривую с помощью программы Mathcad в одном массиве вместе с предыдущими двумя графиками, обозначив координаты этой кривой x2(t) и y2(t), увеличивая промежуток времени до тех пор, пока кривая, изображающая траекторию при отсутствии силы сопротивления, коснется наклонной плоскости.

Рис. 12

Рис.9

На рис. 12 представлены график наклонной плоскости, на которую приземляется лыжник (прямая с координатами x1(t), y1(t)) и

два графика его движения в воздухе: при наличии силы сопротивления (кривая с координатами x(t), y(t)) и без учета силы сопротивления (пунктирная кривая с координатами x2(t),y2(t)).

Как следует из представленных вычислений, при отсутствии силы сопротивления время движения в воздухе увеличилось до значений t₂ =3,95 c, значительно увеличились дальность и высота движения в воздухе:

d = x2(3.95) = 66,28 м, hрррррррhhhhhh = y2(3.95) = 57,571 м,

Определим скорость и ускорение движения лыжника в воздухе без учета сил сопротивления.

Рис.13

Как следует из вычислений, при отсутствии сил сопротивления ускорение является величиной постоянной, равной ускорению свободного падения. График изменения скорости представлен на рис.13. При отсутствии сил сопротивления скорость в момент приземления равна 37,8 м/с и значительно превышает конечную скорость при наличии силы сопротивления.

Контрольные вопросы.

1.Что называется материальной точкой?

2. Сформулируйте второй закон Ньютона.

3. Напишите дифференциальные уравнения прямолинейного, плоского движения материальной точки и пространственного движения материальной точки.

4. Сформулируйте постановку основной задачи динамики точки.

5. Что представляют собой начальные условия движения точки?

6. При каких условиях материальная точка совершает прямолинейное движение.

7. Составьте дифференциальное уравнение падающей вниз материальной точки под действием силы тяжести и силы сопротивления, пропорциональной скорости точки.

8. Составьте дифференциальные уравнения точки, движущейся по наклонной плоскости вниз, если ее масса равна m, угол наклона - α, коэффициент трения – f.

9. Составьте дифференциальные уравнения точки, движущейся по наклонной плоскости вверх если ее масса равна m, угол наклона - α, коэффициент трения – f.

10. Составьте дифференциальные уравнения движения точки, брошенной под углом α к горизонту под действием силы тяжести без учета силы сопротивления.

11. Составьте дифференциальные уравнения движения точки, брошенной под углом к горизонту α с учетом силы сопротивления, пропорциональной скорости.

12. Составьте дифференциальное уравнение для точки, движущейся в горизонтальной плоскости под действием силы тяжести и силы сопротивления .

13. Составьте дифференциальное уравнение для точки, движущейся в горизонтальной плоскости под действием силы тяжести и силы сопротивления, пропорциональной второй степени скорости.