Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла

Пусть на отрезке Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru , за исключением точки c ( Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru ), определена функция Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru . Пусть функция Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru имеет в точке c особенность и интегрируема на отрезках Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru и Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru , где Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru . Тогда, если существуют предел

Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru ,

то его называют главным значением несобственного интеграла и обозначают

Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru

или

Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru

Пример 11.8. Вычислить интеграл

Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru

В тоже время этот интеграл как несобственный является расходящимся.

Конец примера.

ЛЕКЦИЯ № 12. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Вопрос 12.1. Функции нескольких переменных. Основные понятия и определения.

Определение 12.1. N-мерным арифметическим пространством Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru называется множество упорядоченных наборов из n вещественных чисел Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru . Число n называется размерностью пространства, а сами наборы называются точками. Числа Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru называются координатами точек. Две точки пространства называются равными, если они имеют одинаковые координаты.

Пример 12.1. Пусть на плоскости введена декартова система координат, тогда каждой точке плоскости можно поставить в соответствие пару чисел, ее координаты. Следовательно, плоскость есть двухмерное арифметическое пространство. Аналогично устанавливается, что числовая прямая есть одномерное арифметическое пространство, а обычное пространство - есть трехмерное арифметическое пространство. Если в вести в рассмотрение время - четвертую координату, то получаем четырехмерное арифметическое пространство.

Конец примера.

Замечание 12.1. В современной математике под пространством понимают множество объектов произвольной природы, наделенное некоторой структурой.

Определение 12.2. Пусть на некотором множестве M из арифметического пространства T размерности n каждой точке этого множества по некоторому правилу или закону поставлено в соответствие одно и только одно вещественное число. Тогда говорят, что на множестве M задана вещественная функция n переменных. Множество M называют областью определения или областью задания функции f. Множество чисел, которое поставлено в соответствие к множеству M называется множеством значений функции. Точки из множества M называют аргументом функции. Координаты точек так же называют аргументами функции.

Будем обозначать функции нескольких переменных следующими символоми

Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru ‑ если не нужен список аргументов,

Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru ‑ указан список аргументов,

Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru ‑ если нужно указать значение функции.

Функции двух и трех переменных обычно обозначают так: Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru и Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru .

Определение 12.3. Графиком функции n переменных Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru называют множество точек n+1 мерного арифметического пространства вида Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru .

Для функции двух переменных график есть поверхность в трехмерном пространстве (смотри рис. 1), поэтому по аналогии в общем случае график функции называют n мерной поверхностью.

Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru

Рис. 1. График функции Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru .

Определение 12.4. Поверхностью равного уровня функции нескольких переменных называют n мерную поверхность, на которой функция принимает постоянное значение. Для функции двух переменных вместо поверхности равного уровня используется термин линия равного уровня.

Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru

Рис 2. Линии постоянного уровня для функции Вопрос 11.3. Главное значение несобственного интеграла - student2.ru .

Поверхности и линии равного уровня используются для наглядного представления функции и анализа ее поведения.

Наши рекомендации