Пряма називається нахиленою асимптотою графіка функції при , де

. (18)

Якщо коефіцієнт , тоді така асимптота називається горизонтальною .

Пряма називається вертикальною асимптотою графіка функції , якщо (або ).

Приклад 2. Знайти асимптоти графіка функції .

За формулою (18) знаходимо коефіцієнти і нахиленої асимптоти:

Отже, пряма є нахиленою асимптотою графіка даної функції як при , так і при . Оскільки , то горизонтальних асимптот немає.

Нарешті, точка є точкою розриву даної функції , причому . Отже, пряма (вісь ординат) є вертикальною асимптотою функції , графік якої показано на Рис. 3.4.

20

у

10

0

0 х

-10

-20

-2 -1 0 1 2

Рис. 3.4. Графік функції

Наведемо загальну схему для побудови графіка функції :

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти точки перетину графіка функції з віссю ординат (покласти у формулі, яка задає функцію, х = 0) і віссю абсцис (розв’язати рівняння )

3. Знайти асимптоти функції.

4. Дослідити функцію на екстремум: знайти точки мінімуму, максимуму, а також точки перегину. Обчислити значення функції у цих точках. Встановити ділянки монотонності функції.

5. Побудувати схематичний графік функції .

При побудові графіка важливо врахувати його симетрію. Для цього корисно перевірити функцію на парність (непарність).

Зауваження. Функція називається парною (непарною), якщо виконується умова: .

Також важливо перевірити функцію на періодичність: , де – період функції .

Приклад 3. Побудувати графік функції .

Згідно з наведеною вище схемою:

1. Область визначення функції (точка х = 1 є точкою розриву).

2. Графік даної функції перетинає вісь ординат у точці (при ). Оскільки рівняння не має дійсних коренів, то графік даної функції взагалі не перетинає вісь абсцис.

3. Дослідимо поведінку функції поблизу точки розриву х = 1. Маємо: . Отже, пряма х = 1 є вертикальною асимптотою. За формулами (18) знаходимо:

+ max – – min +

1 x

Рис. 3.5. Дослідження функції на екстремум

Отже, пряма є нахилена асимптота даної функції. Горизонтальних асимптот немає.

4. Знайдемо першу похідну функції і прирівняємо її до нуля:

Відмітивши ці точки на осі х (Рис. 3.5), дослідимо їх на екстремум. Отже, є точкою максимуму, , а є точкою мінімуму, . Функція зростає на інтервалах і . Функція спадає на інтервалі . З’ясуємо, чи має дана функція точку перегину. Знайдемо її другу похідну:

. Отже, точок перегину функція немає.

5. Дана функція не є парною і не є непарною. Її графік наведено на Рис. 3.6.

40 y

30

20

10 1- 0

0 1 x

-10 1+

-20

-30

-40

-2 -1 0 1 2 3

Рис. 3.6. Графік функції

Функція двох змінних. Частинні похідні.

Градієнт функції.

Нехай задано закон , за яким кожній впорядкованій парі незалежних змінних ставиться у відповідність хоча б єдине число z. Число z називають значенням функції f у точці .

Приклад 1. Розглянемо функцію двох змінних . Область визначення цієї функції - це множина усіх точок, які задовольняють нерівність (рівняння кола радіусом 1 з центром у початку координат). Множиною значень даної функції є відрізок .

Нехай функція визначена у деякому околі точки . Тоді частинна похідна цієї функції за змінною x (або y) визначається як звичайна похідна функції однієї змінної x (або y) за фіксованого значення змінної y (або x) і позначається так (частинна похідна першого порядку): .

Приклад 2. Знайти частинні похідні першого порядку від функції .

.

Приклад 3. Знайти частинні похідні другого порядку від функції .

Для цього знайдемо спочатку частинні похідні першого порядку:

.

Далі отримуємо:

.

Зауваження. Похідні і називаються мішаними частиннимипохідними.

Для характеристики швидкості зміни функції в точці у напрямку деякого одиничного вектора зручно ввести поняття похідної за напрямком:

. (19)

Приклад 4. Обчислити похідну функції у точці за напрямком вектора , де А - точка з координатами .

Спочатку знайдемо координати одиничного вектора , який задає напрямок :

. Далі обчислимо частинні похідні функції z у точці :

.

За формулою (19) маємо: .

Градієнтом функції називається вектор, який у декартовій системі координат визначається за формулою:

. (20)

Зауваження. У просторі градієнт функції визначається за такою формулою:

.

З урахуванням виразу (20) формулу (19) можна переписати так

,

де - кут між векторами і . Звідси випливає, що похідна функції за напрямком має найбільшу величину при , тобто коли напрямок вектора збігається з напрямком вектора .

Отже, градієнт функції у точці характеризує напрямок і величину максимальної швидкості зростання цієї функції в даній точці.