Означення. Величина f¢(x)Dх називається диференціалом функції f(x) за приростом Dх.

Позначення:

Геометрична інтерпретація:

Диференціал є лінійним наближенням (апроксимацією) до приросту функції: . Наскільки менше , настільки краще наближення (апроксимація) (рис. 5.13).

Рис. 5.13

Нехай . Знайдемо диференціал df(x) і приріст Df(x) для і і порівняємо їх.

Рис. 5.14

1) ;

(рис. 5.14).

2)

.

. ·

5.2.2. Правила обчислення диференціала

Правило 1. Нехай .

Тоді

або

Правило 2. Дано .

Тоді

Правило 3. Маємо , .

Тоді

. Знайти диференціал

· за правилом 3 маємо:

·

Правило 4. Якщо , , то

Правило 5. Якщо функція має обернену , то

.

Правило 6. Якщо функції задані у параметричному вигляді

, ,

то

.

Зауваження. Такі перетворення застосовують, виконуючи інтегрування функцій.

5.2.3. Інваріантність форми
першого диференціала функції

Важлива властивість диференціала функції полягає в тому, що його вигляд лишається незмінним навіть у тому разі, коли переходять до іншої незалежної змінної.

¨ Справді, нехай у = f(x). Тоді диференціал цієї функції записується у вигляді

. (1)

Виконаємо заміну змінних u = j(x). Тоді функція у = f(u) буде функцією від змінної х:

.

Обчислюючи диференціал цієї функції, дістаємо:

, (2)

або

. (3)

Вираз є диференціалом функції u, оскільки . Тому (3) можна подати у вигляді

.

Отже, ми повернулися до вигляду диференціала (1), який був записаний за припущення, що змінна u є незалежною. Маємо властивість диференціала, яка називається його інваріантністю:

Формула для знаходження диференціала

Справджується в усіх випадках: як тоді, коли u є незалежною змінною, так і тоді, коли u є функцією іншої незалежної змінної. В останньому випадку під множником du слід розуміти диференціал функції u.

Зауваження. Оскільки диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то фор­мули для знаходження диференціалів будуть такі самі, як і для знаходження похідних, якщо кожну з них помножити на dx.

5.2.4. Таблиця диференціалів

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

Знайти диференціал функції .

·

·

Знайти dy з виразу .

· До обох частин рівності застосуємо операцію знаходження диференціала:

Звідси

. ·

Знайти .

· . ·

5.2.5. Диференціали вищих порядків

Диференціал функції є також функцією незалежної змінної, а тому його можна диференціювати. Розглянемо функцію .

Означення. Другим диференціалом функції у = f(x) називається вираз d(dy).

Позначення:

Аналогічно дістаємо третій диференціал і т. д. до диференціала n-го порядку .

Диференціал незалежної змінної dx не залежить від х, тому, диференціюючи dx за х, слід розглядати dx як величину сталу відносно х. Отже, приходимо до простих співвідношень між послідовними диференціалами і послідовними похідними:

(1)

Знайти третій диференціал функції

.

· Згідно з (1) дістаємо:

·

Зауваження. Формули (1) при будуть неправильними в загальному випадку, якщо змінна х є функцією від незалежного аргументу t. Виняток становитиме випадок, коли х є лінійною функцією незалежного аргументу t і .

¨ Справді, при незалежному аргументі х функції f(x) маємо:

.

Якщо у функції у = f(x) аргумент х є функцією змінної t, тобто х = j(t), то dx вже залежить від t, і dx = j¢(t)dt, тому при x = j(t) дістаємо:

(2)

·

Розглядаючи вирази (1) і (2), доходимо висновку, що форма диференціала другого порядку не зберігається з переходом до складеної функції.

Наши рекомендации