Методом крутильных колебаний

Цель работы: определение момента инерции тела методом кру­тильных колебаний.

Приборы и принадлежности: крутильный маятник с миллисекундомером, стальной цилиндр, стальной прямоугольный параллелепипед и штангенциркуль.

Теоретические сведения

Твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, расстояния между которыми остаются постоянными. Вращатель­ным движением твердого тела называют такое перемещение, при котором все точки тела описывают окружности вокруг общей оси вращения.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

. (5.1)

Размерность угловой скорости , а ее единица измерения - радиан в секунду (рад/с).

Направление вектора угловой скорости совпадает с направлением перемещения острия правого винта, головка которого вращается по часовой стрелке в на­правлении движения точки по окружности, т.е. по правилу правого винта.

Модуль линейной скорости точки, движущейся равномерно по окружности радиуса R,

(5.2)

где

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

. (5.3)

Из этой формулы следует, что вектор углового ускорения направлен по оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор параллелен вектору , при замедленном - антипараллелен.

Тангенциальная составляющая ускорения

(5.4)

Рис. 5.1

Нормальная составляющая ускорения (5.5) Рассмотрим твердое тело, закреп­ленное на неподвижной оси (рис.5.1). Пусть в точке А приложена сила , причем вектор этой силы лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения .

В точке О пересекаются эта плоскость и ось .Радиус-вектор указывает положение точки А относительно точки О, - угол между вектором и вектором . Опустим перпендикуляр ОР на прямую, вдоль которой действует сила . Длина отрезка ОР , где . Это кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения называется плечом силы.

Момент силы - величина векторная, равная векторному произведению и :

.

Направление вектора определяется следующим образом: вектор переносят параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с точкой О. Через векторы и проводят плоскость и восстанавливают перпендикуляр к ней в точке О. Мысленно вращают вектор по часовой стрелке по кратчайшему пути до совмещения с вектором . Направление перемещения острия правого винта указывает направление вектора , лежащего на перпендикуляре (на рис. 5.1 вектор лежит на оси вращения и на­правлен вниз).

Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс ма­териальных точек системы на квадрат их расстояний до рассматри­ваемой оси:

, (5.6)

где - масса i-й точки, находящейся на расстоянии от оси враще­ния.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу по объему тела V:

,

где р=р(х,у,z) - плотность тела в данной точке.

Если тело и плотность его постоянная величина по всему объему,
то при =const

Пусть сила приложена к телу, закрепленному на неподвижной оси (рис. 5.1). Эта сила создает момент , и под действием этого момента тело приобретает угловое ускорение . Угловое ускорение пропорционально моменту силы, приложенной к телу:

, (5.7)

где J - момент инерции тела относительно оси вращения. Это уравнение представляет собой основное уравнение динамики вращательного дви­жения твердого тела.

Рис. 5.2

На рис. 5.2 показан крутильный маятник. На металлической проволоке закреплен стержень L так, что вертикальная ось проходит через центр массы стержня. Введем неподвижную прямоугольную си­стему координат (х,у,z), причем ось z совпадает с осью .

При отклонении стержня на угол от оси x в плоскости, перпендикулярной оси z, стержень будет со­вершать крутильные колебания вокруг оси .

Для описания движения стержня используем основное уравнение динамики вращательного движения:

где - модуль момента сил, действующих на стержень со сторо­ны проволоки; J - момент инерции стержня относительно оси

- угловое ускорение.

В то же время момент сил М будет пропорционален углу отклонения при

≤ ;

, (5.8)

где D - модуль кручения проволоки. Знак минус в этой формуле указывает, что вектор момента направлен в противоположную сторону вектору угла .

Таким образом, можно записать, пренебрегая силами трения:

где . (5.9)

Решение уравнение (5.9) имеет вид

. (5.10)

В этой формуле А - амплитуда колебаний; - циклическая частота ; ,

где ν - частота колебаний (линейная частота), Т - период колебаний; t -время; - начальная фаза. Величина называется фазой коле­баний.

Подставив выражение (5.10) в (5.9), получаем

Это равенство выполняется при

(5.11)

где Т - период собственных колебаний крутильного маятника.

Рис. 5.3

Закрепим в рамке крутильного маятника (рис. 5.3) металлический ци­линдр. Пусть J_l - момент инерции рамки без цилиндра, J₂ - момент инерции цилиндра относительно оси симметрии, совпадающей с осью вращения . Период свободных крутильных колебаний рамки без

цилиндра

. (5.12)

Если в рамке закреплен цилиндр, то мо­мент инерции этой системы относительно оси вращения и, соответственно, период свободных крутильных колебаний системы

. (5.13)

Момент инерции цилиндра относительно его оси симметрии, проходя­щей перпендикулярно основанию,

, (5.14)

где m - масса; r - радиус; h - высота; d – 2r - диаметр; - объ­ем; - плотность материала цилиндра.

Если измерены периоды свободных крутильных колебаний T₁ и Т₂, то из выражений (5.12) и (5.13) следует, что

, (5.15)

. (5.16)

Из (5.15) находим модуль кручения проволоки

.

Подставим это выражение D в (5.16)

.

Отсюда

. (5.17)

Выражение (5.17) подставляем в уравнение (5.15) и находим

. (5.18)

Закрепим в рамке прямоугольный металлический параллелепипед так, чтобы одна из его осей симметрии z, называемая главной осью, совпала с осью вращения рамки (рис. 5.4).

Рис. 5.4

Момент инерции этой системы , где - момент инерции рамки относительно оси вращения ; -момент инерции прямоугольного параллелепипеда относительно главной оси z. Период свободных крутильных колебаний согласно формуле (5.13) (5.19)

Отсюда

(5.20)

Подставим в (5.20) выражения (5.17) и (5.18):

(5.21)

Затем в (5.21) подставим (5.14):

, (5.22)

где J_z - момент инерции прямоугольного параллелепипеда относительно главной оси симметрии z; - плотность материала цилиндра; h и d -высота и диаметр цилиндра; Т₁ - период свободных крутильных коле­баний рамки без груза; Т_z - период свободных крутильных колебаний рамки с прямоугольным параллелепипедом относительно главной оси z; Т₂ - период свободных крутильных колебаний рамки с цилиндром.

Моменты инерции прямоугольного параллелепипеда относительно главных осей х и у, соответственно, равны

, (5.23)

. (5.24)

Здесь Т_х и Т_y - периоды свободных крутильных колебаний рамки с прямоугольным параллелепипедом относительно главных осей х и у.

Теоретические вычисления дают при

, (5.25)

где а, b, с - размеры параллелепипеда, соответственно вдоль осей х, y, z.

Моменты инерции относительно главных осей х и у находятся по формулам

, (5.26)

. (5.27)

На основании формулы (5.22) находим границу общей погрешности измерения момента инерции параллелепипеда относительно оси z.

. (5.28)

Чтобы найти выражения для или , нужно индекс «z» в формуле (5.28) заменить, соответственно, на «у» или «х».

В формуле (5.28) не учитываются погрешности измерения высоты h и диаметра d цилиндра. Значения величин и ∆Т₁, ∆Т₂, ∆Т_z вычисляют­ся по формулам

(5.29)

, (5.30)

где - коэффициент Стьюдента; N - количество измерений;

, (5.31)

где =0,0005c – предел допустимой погрешности измерений времени.

Описание установки

Прибор “Крутильный маятник” представлен на рис.5.5. На основании (1), оснащенном четырьмя ножками с регулируемой высотой, находится миллисекундомер (2).

Рис. 5.5

В основании установлена колонка (3), на ко­торой при помощи прижимных винтов закреплены кронштейны (4, 5 и 6). Кронштейны (4) и (6) имеют зажимы, служащие для фиксации стальной проволоки, на которой подвешена рамка (7). На кронштейне (5) находится стальная плита (8), которая служит основанием фотоэлектри­ческого датчика (9), электромагнита (10) и угольной шкалы (11). Элек­тромагнит (10) может изменять положение на плите, а его положение относительно фотоэлектрического датчика показывает на угольной шка­ле стрелка, прикрепленная к электромагниту.

Конструкция рамки позволяет закреплять грузы (12), значитель­но отличающиеся друг от друга по внешним размерам. Грузы крепятся при помощи подвижной балки, которая перемещается по направляю­щим между неподвижными балками, она фиксируется путем затяги­вания гаек на зажимных втулках, помещенных на подвижной балке.

Фотоэлектрический датчик и электромагнит соединены с миллисекундомером при помощи разъема.

На лицевой панели миллисекундомера размещены следующие элементы: «сеть» - выключатель сети. Нажатие этой клавиши включает пи­тающее напряжение; «сброс» - сброс показаний миллисекундомера; пуск -нажатие этой клавиши выключает электромагнит и освобождает рамку (7); «стоп» - окончание измерения.

Порядок выполнения работы

Задание I. Определение периода колебаний крутильного маятни­ка.

1. Включить сетевой шнур в питающую сеть.

2. Нажать на клавишу «сеть».

3. Установить электромагнит в заданном положении на плите так, чтобы
стрелка указывала на угол <45°. Зафиксировать электромагнит с по­
мощью гайки.

4. В рамке прибора закрепить исследуемый груз.

5. Поворачивая рамку прибора, приблизить ее стрелку к электромагниту таким образом, чтобы магнитная сила фиксировала положение рам­ки.

6. Нажать клавишу «пуск».

7. После подсчета измерителем 9 периодов крутильных колебаний нажать клавишу «стоп». При этом маятник совершит еще одно колебание
и период одного полного колебания определяется по формуле Т=t/n, где
t - время колебаний; n - количество колебаний (n=10).

Задание II. Определение моментов инерции прямоугольного

парал­лелепипеда относительно главных осей.

1. Измерить с помощью штангенциркуля диаметр dи высоту h стально­го цилиндра с точностью до ±0,2мм. Измерить длины ребер стального параллелепипеда а, b, с с точностью до 0,2мм. Причем размеры ребер выбираются таким образом, чтобы a≤b≤c. Записать данные:

Число измерений N=5; (РI)=3,1415

Плотность (R)=7,8 г/см³

Диаметр d(D) = см

Высота h(Н) = см

Коэффициент Стьюдента (ТАВ) t_α(∞)=

Коэффициент Стьюдента (TANEND) t_α(5)=

Длина по оси х (А) а = см

Длина по оси у (В) в = см

Длина по оси z(С) с = см

2. Измерить период свободных крутильных колебаний рамки без груза. Измерения провести 5 раз (N=5).

3. Установить в рамке стальной цилиндр и измерить 5 раз период свободных колебаний рамки с цилиндром.

4. Установить в рамке стальной прямоугольный параллелепипед так,
чтобы наибольшее по длине ребро c было параллельно оси вращения . Измерить 5 раз период свободных крутильных колебаний рам­ки с этим грузом.

5. Заполнить таблицу результатов измерений.

Таблица

1.
2.
3.
4.
5.
			∆Тx =	∆Ту =

6. Выбрать доверительную вероятность α и найти коэффициенты Стьюдента и

7. По формуле (5.29) вычислить средние значения и

8. По формуле (5.30) вычислить доверительные границы ε случайных по­грешностей измерений периодов колебаний Т₁ Т₂ и Т_z.

9. По формуле (5.31) вычислить доверительные границы ΔТ общих по­грешностей измерений периодов колебаний Т₁ Т₂ и Т_z.

10. По формуле (5.28) вычислить доверительную границу общей погрешности измерения момента инерции ∆J_Z.

11. По формуле (5.22) найти среднее значение , подставив в нее средние значения и .

12. Записать экспериментально найденное значение момента инерции прямоугольного параллелепипеда относительно главной оси z в виде

,

при α =

13. По формуле (5.25) вычислить теоретическое значение момента инерции сравнить с экспериментальным значением

14. Для измерения момента инерции прямоугольного параллелепипеда
относительно главной оси х параллелепипед закрепить в рамке так,
чтобы его ребро длиной а было параллельно оси вращения рамки .
Затем нужно измерить 5 раз период Т_х свободных крутильных колебаний рамки с параллелепипедом. Далее во всех расчетных формах необходимо заменить T_z на Т_х и вычислить значения . При этом используются уже найденные значения . Результат измерений записать в виде

при α =

15. Вычислить по формуле (5.27) теоретическое значение момента инерции J_{x теор} и сравнить J_{x эксп}.

16. Измерения момента инерции прямоугольного параллелепипеда относительно главной оси у провести аналогично: параллелепипед закрепить в рамке так, чтобы его ребро длиной было параллельно оси вращения рамки . Измерить 5 раз период Т_у свободных крутильных колебаний рамки с параллелепипедом. Во всех расчетных формах заменить T_z на Т_у и вычислить значения , и . Результат измерений записать в виде

при α =

17. Вычислить по формуле (5.26) теоретическое значение момента инерции J_{y теор}. и сравнить с J_{y эксп} .

Для расчета на компьютере величин и можно пользо­ваться программой "Маятник". Для этого в память машины нужно ввес­ти исходные данные, записанные в п. 1 (в скобках указаны обозначения величин, используемых для ввода данных в память компьютера).

Контрольные вопросы

1. Какое движение твердого тела называется вращательным? Дать определение угловой скорости и углового ускорения. Как направлены
векторы угловой скорости и углового ускорения?

2. Как связана линейная скорость точки, движущейся по окружности с угловой скоростью? Что собой представляют тангенциальная и нормальная составляющие ускорения? Их связь с угловой скоростью и угловым ускорением.

3. Что такое момент инерции системы материальных точек относительно
оси вращения? Дать определение момента инерции при непрерывном
распределении масс.

4. Что называется моментом силы относительно некоторой точки О? Дать определение момента силы в векторной форме.

5. Вывести основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

6. Вывести дифференциальное уравнение, описывающее движение крутильного маятника. Записать решение этого уравнения. Какие колебания называются свободными?

7. Что такое гармонические колебания? Что называется периодом колебаний? Дать определение амплитуды, циклической частоты, фазы и начальной фазы гармонических колебаний.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6