Непрерывность функции на промежутке

Определение 1: Функция f(x) называется непрерывной в интервале (а; b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Определение 2: Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [а; b], если она непрерывна в каждой точке интервала (а; b), и непрерывна в точке а справа, и в точке b слева.

Всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения.

Теорема 1:(об устойчивости знака непрерывной функции) Пусть функция f(х) непрерывна в точке х₀ и f(х₀)¹0. Тогда существует d>0 такое, что для всех хÎ(х₀-d, х₀+d) функция f(х) имеет тот же знак, что f(х₀).

Теорема 2:(I теорема Больцано-Коши) Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке [а; b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка сÎ(а; b), в которой f(с)=0.

Её геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе с одной полуплоскости, границей которой является ось Ох, в другую пересекает эту ось.

Теорема 3:(II теорема Больцано-Коши) Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке [а; b] причём f(а)=А f(b)=В и А<C<В. Тогда на отрезке [а; b] найдётся точка с такая, что f(с)=С.

Её геометрический смысл: непрерывная функция f(х) при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.

Следствие: Если функция f(х) определена и непрерывна на некотором промежутке Х, то множество её значений Y также представляет некоторый промежуток.

Определение 3: Функция f(x) называется ограниченной на отрезке [а; b], если существует число М>0 такое, что для всех хÎ[а; b] выполняется неравенство |f(x)|£M.

Теорема 4:(I теорема Вейерштрасса) Если функция f(х) определена и непрерывна на отрезке [а; b], то она ограничена на этом отрезке.

Замечание: для интервала (а; b) теорема неверна.

Определение 4: Точной верхней (нижней) гранью функции f(x), определённой на Х, называется наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней, ограничивающих Y сверху (снизу).

Теорема 5:(II теорема Вейерштрасса) Если функция f(х) непрерывна на отрезке [а; b], то она достигает на этом отрезке своих точных граней, то есть существуют точки х₁, х₂Î[а; b] такие что

Замечание: после этого можно ввести определения:

Определение 5: Точная верхняя (нижняя) грань функции f(x) называется максимальным (минимальным) значением функции на отрезке.

Теорема 5:(II теорема Вейерштрасса) Непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке максимальное и минимальное значения.

Теорема 6:(о непрерывности обратной функции) Пусть функция у=f(х) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке Х и пусть Y – множество её значений. Тогда на множестве Y обратная функция х=j(у) однозначна, строго монотонна и непрерывна.

Производная функции.

Пусть на некотором промежутке X определена функция y=f(x). Возьмем любую точку х₀ÎХ и зададим аргументу х в точке х₀ произвольное приращение Dх такое, что точка х₀+Dх также принадлежит X. Функция получит приращение Dу=f(х₀+Dх)-f(x₀).

Определение 1: Производной функции у=f(x) в точке х₀ называется предел при Dх®0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

Геометрический смысл производной. Пусть функция y=f(x) определена на интервале (а, b) и пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента х₀, а точка Р - значению х₀+Dх. Проведем через точки М и Р прямую и назовем её секущей. Обозначим через j(Dх) угол между секущей и положительным направлением оси Ох. Очевидно, что этот угол зависит от Dх.

Если существует , то прямую с угловым коэффициентом k=tgj₀, проходящую через точку М(х₀; f(x₀)) называют предельным положением секущей МР при Dх®0 (или при Р®М).

Определение 2: Касательной S к графику функции у=f(x) в точке М называется предельное положение секущей МР при Dх®0 (или при Р®М).

Итак, производная функции y=f(x) в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке М(х₀; f(x₀)) и равна тангенсу угла наклона касательной с положительным направлении оси абсцисс.

Физический смысл производной. Предположим, что функция y=f(x) описывает закон движения материальной точки М по прямой линии, т. е. у=f(х)-путь, пройденный точкой М от начала отсчёта за время х.

Тогда за время х₀ пройден путь y=f(x₀), а за время х₁ - путь y=f(x₁).

За промежуток времени Dх=x₁-х₀ точка М пройдёт отрезок пути Dy=f(x₁)-f(x₀)=f(x₀+Dх)-f(x₀).

Отношение Dу/Dх называется средней скоростью движения (v_ср) за время Dх, а предел отношения Dу/Dх при Dх®0 определяет мгновенную скорость точки в момент времени х₀ (v_мгн).

Определение 3: Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если её приращение Dy в этой точке можно представить в виде Dy=АDх+a(Dх)Dх,

где А - некоторое число, не зависящее от Dх, а a(Dх) - функция аргумента Dх, являющаяся бесконечно малой при Dх®0, т. е. . Доказано, что А=f¢(х₀).

Установим связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в той же точке.

Теорема 1: Для того чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке х₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Таким образом, для функций одной переменной дифференцируемость и существование производной - понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.

Теорема 2:Если функция y=f(x) дифференцируема в данной точке х₀, то она и непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т. е. не иметь производной в этой точке.