Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу

До рівнянь еліптичного типу приводить вивчення стаціонарних процесів різної фізичної природи (теплопровідність, дифузія, рівновага та інші). Одним із простіших рівнянь еліптичного типу є рівняння Лапласа

Визначення. Функція називається гармонічною в обмеженій області D, якщо вона в цій області двічі неперервно-диференційовна по всіх арґументах і справджує рівняння Лапласа.

Функція називається гармонічною в нескінченій області D^*, якщо в кожній точці цієї області, що знаходиться на скінченій віддалі від початку координат, функція двічі неперервно-диференційовна по всіх арґументах, справджує рівняння Лапласа і для досить великих має місце нерівність (умова реґулярності на нескінченості)

У випадку двовимірного простору умова реґулярності на нескінченості набуває вигляду С=соnst, тобто є умовою обмеженості функції для досить великих

Рівняння називається рівнянням Пуассона.

Теорема 1 (принцип мінімакса для гармонічних функцій). Гармонічна в обмеженій області Dі неперервна в замиканні функція досягає свого найбільшого і найменшого значення на границі області D.

Наведемо постановку основних крайових задач для рівняння Лапласа.

1. Внутрішня (зовнішня) задача Діріхле: знайти гармонічну в D(D^*) і неперервну в ( ^*) функцію , яка на границі області набуває заданих значень: де – задана неперервна на функція.

2. Внутрішня (зовнішня) задача Неймана: знайти гармонічну в D(D^*) і неперервну разом із частинними похідними першого порядку в ( ^*) функцію , яка на границі області справджує умову

- 44 -

де – зовнішня нормаль до , а – задана неперервна на функція, яка для коректності постановки задачі повинна справджувати умову

( умова стаціонарності теплового поля).

3. Третя внутрішня (зовнішня) крайова задача: знайти гармонічну в D(D^*) і неперервну разом із частинними похідними першого порядку в ( ^*) функцію , яка на границі області справджує умову

де і – задані неперервні на функції.

Аналоґічно ставляться крайові задачі і для рівняння Пуассона.

Теорема 2. Як внутрішня, так і зовнішня задачі Діріхле для рівняння Пуассона мають не більш ніж один розв’язок у розглядуваній області (тобто: якщо розв’язок задачі Діріхле існує, то він є єдиним).

Теорема 3. У двовимірному просторі довільні два розв’язки задачі Неймана (внутрішньої чи зовнішньої), які мають неперервні аж до частинні похідні першого порядку, відрізняються на сталий доданок.

Зауваження. У випадку трьох і більше незалежних змінних твердження теореми 2 справджується для внутрішньої задачі Неймана. Розв’язок зовнішньої задачі Неймана є єдиним.

Окрім сформульованих трьох основних крайових задач для рівнянь еліптичного типу, на практиці зустрічаються складніші задачі з крайовими умовами різного роду на частинах границі .