Математическое моделирование

Введение

Будут рассмотрены вопросы математического моделирования, оптимизации и принятия решений. Математические модели используются в процессе изучения явлений, проектирования различного рода объектов, управления ими, прогнозирования и т.д.

Методы оптимизации необходимы для получения оптимальных решений в условиях, когда известны все исходные данные. Лицо принимающее решение (ЛПР) имеет в своем распоряжение недостаточно полную информацию, но, тем не менее, решение принимает в условиях «неопределенности».

Основы моделирования

Математическая модель (ММ) – это приближенное описание, какого либо класса явлений, объектов техники, экономике, социальная сфера и тому подобное, выраженная с помощью математической символике.

ММ – принимаются в процессе проектирования новых объектов, работающих в оптимальных режимах. Для решения задач науки, ядерный, атомный взрыв, проектирования новых явлений, как средство при управление объектами, планирование при управление объектами при планирование и в АСУ.

Математическое моделирование

Это процесс изучения некоторого явления или объекта с помощью ММ. Выделяют 4 этапа:

1)формулировка законов связывающих основные компоненты модели, он завершается записью в математических выражениях, качественных представлениях о связях между компонентами.

2)исследование мат. задач к которым приводит ММ. Основной это прямая задача.

Здесь важен мат. аппарат необходимый для анализа ММ и ЭВМ. Выделяют отдельные классы задач, которые описывают одинаково различные явления и рассматривают их отдельно от изучаемого явления.

3)выявление того является ли математическая модель практике, то есть согласуются ли результаты полученные по модели с результатами наблюдений в пределах точности измерений. Это так называемые задачи идентификации.

Часто при решение задач некоторые характеристики модели не известны. И их приходится находить используя обратные задачи, если ММ не при каких условиях не удовлетворяет требования точности то модель не пригодна, и требуется новое ММ.

4)последующий анализ ММ в связи с накоплением данных об изучаемом объекте или явление, и модернизация модели в случае необходимости. Изучением ММ с помощью ЭВМ занимается вычислительная математика.

Метод математического моделирования на ЭВМ состоит в разработке ММ, объекта или системы, в выборе или разработке эффективного алгоритма решения задачи и просчете на ЭВМ процессов протекающих в объекте. Это гораздо быстрее, дешевле и точнее чем натурное моделирование.

Натурное моделирование – основано на изучение физического подобия. Масштабный переход от лабораторных установок к промышленным часто не дает ожидаемого результата. Блок схема процесса мат. Моделирования, оптимизация и управления объектом, системы на ЭВМ представлена на рис.

Постановка задач мат.моделирования

_______________________ Выбор ММ объект (системы) _______________________

Обеспечение адекватности ММ

Анализ результатов математического моделирования

______________________ Постановка и решение задачи системы ______________________

_______________________ Анализ результатов оптимизации ______________________

1)формулируются цели моделирования и выявляется необходимые данные, числовой материал

2)выбирается топологическая структура ММ.

-принимается система допущений

- выбирается модели нижних уровней

-формируются алгоритмы реализующие ММ

-выбирается или разрабатывается программа решений уравнения модели.

3)экспериментально исследуются объект, проверяется ММ на адекватности объекту исследования и при необходимости осуществляется коррекция ММ (подгонка настроечных коэффициентов)

4)анализируются основные связи переменных независимых с критериями оптимизации и выходными переменными.

Изучается чувствительности различных критериев оптимизации и отсеиваются несущественные связи. Строятся области допустимых управлений задач оптимизации. Оценивается экономическая целесообразность.

5) формулируется задача оптимизации (управления) определяется её класс и возможности решение с помощью существующих алгоритмов и программ. Оговаривается алгоритм решения задач и соответственно программ.

6) выявляются свойства оптимальных режима (процессов управления) разрабатывается структура системы управления, разрабатываются задания на создание алгоритмов, оптимизации и управления.

1)Экспериментальный

2)аналитический

3)экспериментально – аналитический

А) Используются для оптимизации режимов работы действующих объектов систем и создания системы автоматического управления.

Б) применяется для конструирования объектов (систем), оптимизации их решения работы и выбора системы автоматического управления

В)используются для оптимизации режимов работы и расчета систем автоматического управления.

Приложения часто встречаются типичные задачи для которых разработаны библиотеки прикладных программ.

Выделяют математические модели линейные и не линейные, а также линейные в малом. Их вид зависит от вида математического описания. Различают ММ – статики, квазистатики и динамике.

Первые описывают зависимость выходных переменных объекта от входных в статическом режимах работы

Вторые объекты характеризуются тем, что свойство объектов с течением времени меняются однако на определенном промежутке времени их можно считать

В третьем случае изучается поведение объекта во времени.

Важнейшим в процессе моделирования, оптимизации объекта, является рассмотрение изучаемого явления как объекта.

(рисунок 1)

Которое изменяют состояние объекта в соответствие с заданными целями.

Количественную оценку оптимизированного качества объекта характеризуют критерием оптимизации называют критерием оптимизации (критерием оптимальности). Различают оптимизацию режимов действующих объектов и проектируемых. Вторая более эффективна по сколько имеются дополнительные конструктивные параметры, которые можно изменять.

Математические методы оптимизации можно применять лишь при наличии математической модели ММ. При выборе вариантов используют информацию о свойствах объекта. Критерием оптимизации могут быть целевая функция (время, быстрота) функция одной или нескольких переменных. Несколько таких функций (функционал).

*)функция

Х-х) функционал

Функция закон ставящий в соответствие одному число, другому.

Функционал закон ставящий в функции число.

Если имеет место только одна числовая функция и ищется экстремум (минимум или максимум) функции при наличии ограничений на переменные то говорят о задаче математического программирования. Если таких функций несколько то говорят о задаче многокритериальной оптимизации (векторная оптимизация).

Если критерием является функционал экстремум которого ищется функциональных множествах, то говорят о задачах вариационного исчисления или оптимального управления. Решением здесь является функция.

В зависимости от того конечно или бесконечно число переменных искомых различают задачи конечно мерной и бесконечно мерной оптимизации. В зависимости от того накладываются или не накладываются ограничения на искомые переменные различают задачи безусловной и условной оптимизации. В зависимости от того сколько экстремумов может быть у критерия различают однокритериальные и многокритериальные задачи.

Если ищется максимум критерия на допустимом множестве решений, то говорят о задачах максимизации. А если минимум – то а задачах минимизации. Задачу максимизации взятое со знаком в критерии минус может рассматриваться как задача минимизации и наоборот. При этом получится один и тот же результат (число решений и их значения) а также вид критериев (строгие и нестрогие решения). В математическом программирование об зависимости от вида функций и ограничений накладываемых на независимые переменные, различают следующие задачи:

Линейное программирование (целевая функция и ограничения линейны)

Нелинейное программирование (нелинейная целевая функция произвольного вида определена на множестве задаваемом не линейными выражениями)

Квадратичное программирование (целевая функция квадратичная и выпуклая, а ограничения определяются линейными равенствами и не равенствами).

Выпуклое программирование (выпуклая целевая функция, определена на выпуклом множестве. Частным случаем выпуклого программирования является квадратичное программирование, а линейное программирование, частный случай того и другого).

Геометрическое программирование (целевая функция и ограничения являются положительными полиномами).

Дискретное программирование (решение ищется в дискретных точках, например целочисленных).

Стохастическое программирование (в постановку задач входит элемент не определенности, случайная составляющая)

Динамическое программирование (вид задач где вид функции не важен, коммутативная или мультипликативной, а поиск решений осуществляется по этапно).

Вариационные задачи и оптимальное управление относятся к бесконечно мерным задачам, а элементами допустимых множеств являются функции.

Одни методы являются более общими другие менее общими. Практически все методы кроме не линейного программирования предполагают до определенного этапа решение задач аналитически.

В задачах линейного, квадратичного и выпуклого программирования решение единственно. Задачи не линейного программирования часто называют прямыми задачами использующими численные методы оптимизации.

Отдельную группу составляют методы классического анализа.