Раздел 9. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

1. Вычислите предел функции:

2. Вычислите предел функции:

3. Найдите производную функции:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) .

4. Найдите производную функции:

а) ; б) ; в) .

5. Найдите скорость и ускорение точки в момент времени t =1, если

а) ; б) .

6. Постройте график функции с помощью производной:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

5. ;

6. ;

7. Представьте число 16 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы их сумма была наименьшей.

8. Размер популяции насекомых в момент t (время выражено в днях) задаётся формулой . Вычислить скорость роста популяции в четвертый день.

9. Из проволоки длиной 24 см надо сделать модель прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. При каких размерах сторон объём параллелепипеда будет наибольшим?

10. Стоимость плавания корабля в течение часа определяется формулой , где первое слагаемое связано с расходами на амортизацию и содержание команды, а второе с расходом топлива. При какой скорости судно пройдет расстояние в 1000 км с наименьшими затратами?

11. Сергей Петрович владеет двумя промышленными заводами, выпускающими одинаковую продукцию. На втором заводе установлено современное оборудование, поэтому на нём может быть выпущено больше единиц продукции. Известно, что если рабочие первого завода суммарно трудятся t² часов в неделю, то выпускают t единиц продукции. А если рабочие второго завода трудятся t² часов в неделю, то выпускают 2t единиц продукции. Ставка заработной платы рабочего составляет 500 рублей в час. Сергей Петрович готов платить рабочим 30 250 000 рублей в неделю. На какое максимальное количество единиц продукции он может рассчитывать?

12. Функция суточного спроса Q на мороженное (тыс.шт.) в зависимости от цены P за одну порцию (руб.) имеет вид .Эффективная область «работы» этой формулы от 1 до 9 рублей. При какой цене за порцию мороженого совокупная выручка будет максимальной?

13. Если собрать урожай в начале августа, то с каждой сотки можно получить 200 кг раннего картофеля и реализовать его по 12 рублей за килограмм. Отсрочка уборки на каждую неделю ведет к увеличению урожайности на 50 кг с одной сотки, но цена картофеля за килограмм при этом падает на 2 руб. Когда следует собрать картофель, чтобы доход от его продажи был максимальным, если срок уборки составляет 5 недель?

14. Требуется огородить прямоугольную площадь вдоль уже выстроенной стены. Стоимость ограждения стороны, параллельной стене, равна 60 рублей за метр; стоимость ограждения двух других сторон составляет 90 рублей за метр. Какая максимальная площадь может быть огорожена, если имеется всего 10 800 рублей?