Вероятнейшее число появлений события при повторении испытаний

Задача 3. Садовод сделал осенью 6 прививок. По опыту прошлых лет известно, что после зимовки 7 из каждых 10 черенков оставались жизнеспособными. Какое число прижившихся черенков наиболее вероятно?

Решение. Будем условно считать, что вероятность события, состоящего в том, что привитый черенок приживется, одинакова для всех черенков и равна 0,7 и что испытания независимы.

Составим следующую таблицу, учитывая, что p = 0,7, g = 0,3.

Таблица 1.1

Вероятности	Число прижившихся черенков
	∙0,36× ×0,70	∙0,7× ×0,35	∙0,72× ×0,34	∙0,73× ×0,33	∙0,74× ×0,32	∙0,75× ×0,3	∙0,76× ×0,30
0,0007	0,0102	0,0593	0,1852	0,3241	0,3025	0,1176

Из таблицы видно, что наибольшая вероятность соответствует событию, состоящему в том, что приживутся 4 черенка. Следовательно, это событие более возможно, чем все остальные.

Решим задачу в общем виде, не составляя приведенную выше таблицу.

Обозначим число появлений события А, имеющего наибольшую вероятность при п испытаниях, через k₀. Тогда

Р_k0,_n ≥ Р_k0+1,_n (1.8.2)

и

Р_k0,_n ≥ Р_k0+1,_n (1.8.3)

Из (1.8.2) имеем

или, учитывая формулу Бернулли (1.8.1),

(1.8.4)

Из последнего неравенства следует, что

(n – k₀) p ≤ (k₀ + 1) g

После перегруппировки получаем

np – g ≤ k₀ (p + g),

откуда имеем

np – g ≤ k₀ (1.8.5)

Запишем следствие из неравенства (1.8.3)

Выполняя те же преобразования, что и для (1.8.2), имеем

или

k₀ (g + p) ≤ np + p

откуда окончательно получаем

k₀ ≤ np + p (1.8.6)

Объединяя (1.8.5) и (1.8.6), имеем

np–g≤k0≤np+p. (1.8.7)

Числа np–g и np+p отличаются на единицу. Поэтому, если np–g-дробное число, то nр+р - также дробное и неравенство (1.8.7) определяет одно k₀. Если np–g- целое число, то и nр+р - также целое; тогда числа k₀ и k₀+1 будут иметь равную и наибольшую вероятность.

В задаче о садоводе вычислим k₀. Имеем n = 6, p = 0,7, g = 0,3; np–g = 6∙0,7–0,3 = 3,9; np+p = 6∙0,7 + 0,7 = 4,9; 3,9≤k₀≤4,9; k₀ = 4.

П. 1.9. ЛОКАЛЬНАЯ И ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМЫ

МУАВРА-ЛАПЛАСА

Задача. На опытном поле посеяно 1500 семян. Найти вероятность события, состоящего в том, что всходы дадут ровно 1200 семян, если условно считать, что каждое зерно взойдет с вероятностью 0,9.

По формуле (11.8.2), учитывая, что п = 1500, k = 1200, р = 0,9, g = 0,l, находим

Получение ответа сопряжено с немалыми вычислительными трудностями. Ясно, что при большом числе п повторений испытаний вычисление вероятностей по формуле Бернулли становится громоздким.

Приближенная формула для частного случая p = ¹/₂ впервые была доказана Муавром в 1730г., а впоследствии Лаплас привел обобщенную формулу для 0 <р < 1.

Теорема. Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р (0<р<1), то справедлива следующая формула:

(1.9.1)

где P_k,_n - вероятность того, что при n испытаниях событие А появится ровно k раз (k испытаний успешны) ; g = 1–р- вероятность непоявления со бытия А в одном испытании. Для практических целей используют приближенное равенство - следствие из формулы (1.9.1):

(1.9.2)

где а x=

Формула (1.9.2) дает тем более точный результат, чем больше число n.

Для функции j(х) составлены таблицы. Так как j (х) зависит от x в четной степени, то j (x) = j (–х). Поэтому таблицы составлены для значений x≥0 (см. Приложение 1).

Пример. Вернемся к исходной задаче и найдем P_1200,1500 по формуле (1.9.2). При n=1500, k=1200, p = 0,9, g = 0,1 имеем

j(-12,91) = j(12,91)»6,3∙10^–4;

Как видим, вероятность мала. Событие, состоящее в том, что из посеянных 1500 семян взойдет ровно 1200, при одной серии испытаний, практически не произойдет.

Интегральная теорема Муавра - Лапласа. Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна р (0<р<1), то справедлива формула

,

где P(k₁, k₂) - вероятность того, что при n повторениях испытания событие А имеет место не менее чем k₁ и не более k₂ раз. При решении задач применяют следствие из теоремы:

(1.9.3)

где

(1.9.4)

Интеграл не выражается через элементарные функции. Для вычисления вероятностей по формуле (1.9.3) используют хорошо изученную функцию

Рис. 1

Для нее составлены таблицы, а график изображен на рис. 1. Функцию Ф(x) часто называют функцией Лапласа. Функция Ф(х) нечетная, Ф(x) = –Ф(–х), так что таблицы составлены только для х≥0.

В окончательном виде вероятность:

P(k₁,k₂) » Ф(x2) – Ф(x1). (1.9.6)

Пример. В лаборатории из партии семян, имеющих всхожесть 90%, высеяно 600 семян Найти вероятность события = {число семян, давших всходы, не менее 520 и не более 570}, если принять, что каждое посеянное зерно взойдет с одной и той же вероятностью Р = 0,9

Решение. Имеем n = 600, p = 0,9, g = 0,1, следовательно,

P(520,570) » Ф(x₂) – Ф(x₁),

где

P(520,570) » Ф(4,08) – Ф(–2,72) = 0,49996 + 0,4967 = 0,99.

Событие практически достоверное.

П. 1.10. ВЫВОДЫ

Теория вероятностей - наука о количественных закономерностях моделей случайных явлений. В отличие от строго детерминированных зависимостей, рассмотренных в первой части пособия, в теории вероятностей простейшие закономерности изучаемых процессов и явлений устанавливаются при фиксированном результате большого числа повторений испытаний на основе специально поставленных примеров.

Главным понятием теории вероятностей является понятие события. Событие-это качественный результат испытания. Следующим основным понятием является относительная частота события. Давно замеченное свойство частоты - ее устойчивость с колебаниями около некоторого постоянного числа - используется человеком в его практической деятельности. Это постоянное число, около которого группируются относительные частоты события при нескольких сериях испытаний с возрастающим числом повторений и есть вероятность события. Вероятность - численный показатель возможности наступления события. Это определение вероятности события принято называть статистическим. Вероятность можно найти только в результате проведения многократно повторенных испытаний. Существуют задачи, когда показатель возможности осуществления события может быть заранее предсказан. Для этого надо знать число так называемых элементарных случаев или событий, благоприятствующих осуществлению данного события. Тогда вероятность события А равна отношению числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих появлению события, к общему числу случаев, возможных в данном испытании:

Вероятность сложных событий вычисляют через вероятности простых событий, используя теоремы сложения и умножения, формулы полной вероятности, формулы Байеса, локальную и интегральную теоремы Муавра - Лапласа.

Глава 2

Случайные величины

В этой главе рассматривается еще одно из важнейших понятий теории вероятностей - случайные величины. Основная цель главы - рассмотреть особенности случайных величин, законы распределения и показать, как их применяют на практике. Изложен закон больших чисел в обобщенной форме и для частного случая, в форме Бернулли.