Понятие непрерывной функции

Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий математического анализа.

Определение 5.1.Функция у = f(x), определённая на интервале , называется непрерывной в точкех₀ , если f(x) = f(x₀).

Пример 5.1.Доказать непрерывность функции f(x) = 2х² + 2х +1 в точке х₀ = 1.

Решение.Находим:

1) f(x) = (2х² + 2х +1) = 2 x² + 2 x + 1 = 2 × 1 + 2 × 1 + 1 = 5.

2) f(1) = 2 × 1² + 2 × 1 + 1 = 5.

Так как f(x) = f(1), то по определению функция f(x) непрерывна в точке х₀ = 1.

Определение 5.2.Пусть х₀, х₀ Î . Разность ∆х = х − х₀ называется приращением аргумента в точкех₀, а разность ∆у = f(x) − f(x₀) = f(x₀ + ∆x) − f(x₀) – приращением функции в точке х_0.

Теорема 5.1.Функция у = f(x) непрерывна в точке х₀ Î тогда и только тогда, когда ∆у = 0.

Доказательство.1 Пусть функция у = f(x) непрерывна в точке х₀ Î . Это означает, что f(x) = f(x₀). Положим х = х₀ + ∆х. Получим

f(x₀ + ∆x) = f(x₀),

откуда f(x₀ + ∆x) − f(x₀) = 0, ((x₀ + ∆x) − f(x₀)) = 0,

т. е. ∆у = 0.

2 Пусть теперь ∆у = 0. Тогда ((x₀ + ∆x) − f(x₀)) = 0, откуда f(x₀ + ∆x) − f(x₀) = 0, f(x₀ + ∆x) = f(x₀). Это означает, что функция у = f(x) непрерывна в точке х₀.

Теорема 5.2.Если функции f(x) и φ(х) непрерывны в точке х₀, то непрерывны в этой точке их сумма f(x) + φ(x), разность f(x) − φ(x), произведение f(x) × φ(x), а также частное f(x)/φ(x) при условии, что φ(х₀) ≠ 0.

Доказательство этой теоремы непосредственно следует из определения непрерывности и свойств пределов функций.

Например, непрерывными являются многие элементарные функции:

1) целая рациональная функция P_n(x) = непрерывна при всех х Î R;

2) дробно-рациональная функция R(x) = непрерывна при всех х, для которых знаменатель не обращается в нуль;

3) тригонометрические функции у = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx непрерывны во всех точках области определения.

Теорема 5.3. Пусть функция z = φ(x) непрерывна в точке х₀, а функция у = f(z) непрерывна в точке z₀ = φ(x₀). Тогда сложная функция у = f(φ(x)) непрерывна в точке х₀.

Эта теорема позволяет сделать вывод о непрерывности функций, которые являются композициями непрерывных функций.

Пример 5.2.Доказать, что функция у = sinx² непрерывна в точке х₀ = 0.

Решение.Функция z = x² непрерывна в точке х₀ = 0 как целая рациональная функция. Функция у = sinz непрерывна в точке z₀ = x₀² = 0, то по теореме 5.3 сложная функция у = sinz = sinx² непрерывна в точке х₀ = 0.

Определение 5.3.Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Если функция определена при х = и при этом f(x) = f( ), то говорят, что f(x) в точке непрерывна справа.Аналогично, если f(x) = f( ), то говорят, что f(x) в точке непрерывна слева.Функция называется непрерывной на ,если она непрерывна в каждой его точке (в точке – непрерывна справа, в точке – непрерывна слева).

Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом важных свойств, которые выражаются следующими теоремами.

Теорема 5.4. (первая теорема Больцано-Коши).

Пусть функция f(x) непрерывна на [ ] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка Î [ ], в которой f( ) = 0.

Теорема 5.5.(вторая теорема Больцано-Коши).

Пусть функция f(x) непрерывна на [ ], причём f( ) = A, f( ) = B. Пусть С – любое число, заключённое между А и В. Тогда на отрезке [ ] найдётся точка такая, что f( ) = C.

Теорема 5.6. (первая теорема Вейерштрасса).

Если функция f(x) определена и непрерывна на [ ], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 5.7.(вторая теорема Вейерштрасса).

Если функция f(x) непрерывна на [ ], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения и своего наибольшего значения, т. е. существуют такие точки х₁, х₂ Î [ ], что для всех х Î [ ] f(x₁) £ f(x) £ f(x₂).