Решение разностных уравнений методом прямой подстановки

Уравнение (8.16) записано в виде, удобном для решения методом прямой подстановки. Имея набор начальных условий (например, Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru для i=-1, -2, …, -M) и входную последовательность Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru по формуле (8.16)т можно непосредственно вычислить выходную последовательность Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru для Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

Пример.

Дана последовательность Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru

Разностное уравнение имеет вид

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru (8.17)

с начальными условиями Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

Данное уравнение можно решить подстановкой, что дает:

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru

8.2.3.2. Решение разностных уравнений в явном виде

Хотя решение разностного уравнения подстановкой и целесообразно в некоторых случаях, значительно полезнее получить решения в явном виде.

Основная идея сводится к получению двух решений разностного уравнения: однородного и частного.

Однородное уравнение получается путем подстановки нулей вместо всех членов, содержащих элементы входной последовательности Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru и определение отклика при нулевой входной последовательности.

Частное решение получается из подбора вида последовательности Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru на выходе при заданной входной последовательности Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru . Для определения произвольных постоянных однородного решения используются начальные условия.

Пример.

Решить уравнение (8.17) этим методом.

Однородное уравнение имеет вид

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru (8.18)

Известно, что характеристическими решениями однородных уравнений, соответствующих линейным разностным уравнениям с постоянными коэффициентами, является решение вида Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru . Поэтому, подставляя вместо Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru в (8.18), Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru получим

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru

Отсюда однородное решение имеет вид

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru . (8.19)

Частное решение, соответствующее входной последовательности Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru , попробуем найти в виде

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru . (8.20)

Из уравнения (8.16) получаем

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

Поскольку коэффициенты при равных степенях Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru в левой и правой частях уравнения должны совпадать, то из получаемой системы (трех уравнений) находим три искомых коэффициента: Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

Таким образом, общее решение имеет вид:

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru , (8.21)

В этом выражении коэффициент Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru находится из начального условия Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

Тогда из (8.21) получим

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru (8.22)

Проверка решения (8.22) при Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru показывает полное совпадение с приведенным выше прямым решением.

Преимущество решения (8.22) заключается в том, что оно позволяет весьма просто определить Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru для любого конкретного Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

8.2.3.3. Схемы реализации цифровых систем

Важное значение разностных уравнений состоит в том, что они непосредственно определяют способ построения цифровой системы.

Так, разностное уравнение первого порядка самого общего вида

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru (8.23)

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru
можно реализовать с помощью схемы

Блок “задержки” осуществляет задержку сигнала на один отсчет.

Разностное уравнение второго порядка самого общего вида

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru (8.24)

 
  Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru

может быть реализовано при помощи схемы, приведенной на рисунке 8.4.

Системы первого и второго порядка могут быть использованы при реализации систем более высокого поряджка, т.к. последние могут быть представлены в виде последовательного или параллельного соединения систем первого и второго порядка.

8.2.4. Z – преобразование

Одним из методов представления последовательностей является Z-преобразование.

Для последовательности Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru , заданной при всех Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru , Z-преобразование определяется следующим степенным рядом

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru . (8.25)

где Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru - комплексная переменная.

8.2.4. 1. Последовательности конечной длины

Если Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru отлична от нуля только в интервале Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru , где Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru - конечны, то Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru сходится в Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru - плоскости везде, за исключением, может быть, точки Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru или Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

Линейную систему с постоянными параметрами, импульсная характеристика которой является последовательностью конечной длины, называют системой с конечной импульсной характеристикой, или, что то же самое, КИХ-фильтром.

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru Типичная импульсная характеристика Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru конечной длины изображена на рисунке 8.5.

Системой (фильтром) с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) называется система (фильтр), длина импульсной характеристики которой не ограничена слева Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru или справа Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru или с обеих сторон.

8.2.4. 2. Примеры Z-преобразования.

1. Найти Z-преобразование единичного импульса.

Решение.

Так как Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru при любых Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru , кроме Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru , при котором Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru , то согласно (8.25) имеем

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru . (8.26)

2. Найти Z-преобразование единичного скачка.

Так как Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru везде, кроме Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru , где Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru , то из (8.25) получим

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru . (8.27)

Бесконечный ряд сходится при Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru , т.к. Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru имеет единственную особую точку Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

(Примечание. Результат (8.27) вытекает из формулы суммы геометрической прогрессии

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru ).

3. Найти Z-преобразование комплексной экспоненты.

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru . (8.28)

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru сходится при Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru , т.к. единственной особой точкой является Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

4. Найти Z-преобразование простой экспоненциальной последовательности.

В этом случае Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru при Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru и Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru при Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

Тогда согласно (8.25) получаем

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru . (8.29)

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru сходится при Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru , т.к. единственной особой точкой является Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

8.2.4. 3. Свойства Z – преобразования

Линейность.

Z – преобразование линейно.

Пусть Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru - z – преобразования последовательностей Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

Тогда справедливо

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru . (8.30)

Задержка.

Если Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru ,

то

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru . (8.31)

Это свойство полезно при переходе от представления линейной системы с постоянными переменными к представлению ее z – преобразованием и наоборот.

Пример.

Пусть имеется разностное уравнение

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

Представим его в виде z – преобразования

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru

или

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru ,

где

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru

Свертка последовательностей

Пусть Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru входные и выходные последовательности дискретной линейной системы с постоянными параметрами, Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru - импульсная характеристика системы, Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru - их соответствующие z – преобразования.

Тогда имеет место

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru , (8.32)

или

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru

Как следует из рассмотрения (8.32), операция свертки последовательностей сводится к перемножению их z – преобразований.

8.2.4.4. Решение разностных уравнений с применением одностороннего z – преобразования

Разностные уравнения обычно определены при Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru и имеют набор начальных условий.

Разностное уравнение первого порядка

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru , (8.33)

начальное условие Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

Пусть на вход поступает последовательность

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

Чтобы найти одностороннее z – преобразование, умножим обе части равенства (8.33) на Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru и просуммируем от Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru до Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

Из свойства задержки

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

Отсюда

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

Поскольку

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru ,

то

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

Разложив второе слагаемое на простые дроби, получим

Решение разностных уравнений методом прямой подстановки - student2.ru .

Обратное z – преобразование дает последовательность – решение разностного уравнения

Наши рекомендации