Возрастание и убывание функций
ПП 16.
I. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ и построение графиков
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
Графики элементарных функций
1. Линейная функция: .
2. Квадратичная функция:
.
3. Степенные функции
3.1. .
3.2. , .
3.3. Иррациональные .
Трансцендентные функции
4. Показательная .
5. Логарифмическая .
6. Тригонометрические функции
6.1. .
6.2. .
6.3. .
6.4. .
7. Обратные тригонометрические функции
7.1. . .
7.2. . .
7.3. , .
7.4. . .
, , .
8. Гиперболические функции
8.1. Гиперболический синус
.
8.2. Гиперболический косинус
.
8.3. Гиперболический тангенс
.
8.4. Гиперболический котангенс
. , , , .
Асимптоты
1) - вертикальная асимптота , если .
2) - правая (левая) горизонтальная асимптота , если .
3) , , - наклонная асимптота при .
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ
Интервалы монотонности
Функция , дифференцируемая на отрезке , возрастает (убывает) тогда и только тогда, когда ( ), .
Правило отыскания экстремумов функции
Чтобы найти точки максимума и минимума функции , надо:
1). Найти производную , приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение .
2). Найти точки, в которых производная не существует.
3). Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.
Экстремум | |||
нет | |||
max | |||
min | |||
нет |
С помощью второй производной:
Экстремум | ||
max | ||
min | ||
Точки перегиба
Функция , дифференцируемая на отрезке , выпукла вниз (вверх) тогда и только тогда, когда ( ), .
Перегиб | |||||
вып. вниз | вып. вниз | нет | |||
вып. вниз | вып. вверх | есть | |||
вып. вверх | вып. вниз | есть | |||
вып. вверх | вып. вверх | нет |
Общая схема исследования функции и построения графика
1. Найти область определения функции; найти область значений функции; найти точки пересечения графика с осями координат, указать интервалы знакопостоянства функции.
2. Проверить функцию на периодичность; проверить функцию на четность и нечетность.
3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках; определить наличие горизонтальных, вертикальных и наклонных асимптот.
4. Вычислив первую производную, найти критические точки и интервалы монотонности функции, выделить точки локальных экстремумов.
5. Вычислив вторую производную, найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.
6. Построить график.
Типы задач
Возрастание и убывание функций
Функция , дифференцируемая на интервале , возрастает (убывает) на тогда и только тогда, когда ( ) для всех .
Геометрически это означает, что угол наклона касательной к графику возрастающей (убывающей) дифференцируемой функции острый (тупой), а угловые коэффициенты касательных соответственно положительны или отрицательны.
№ п/п | Примеры ПП 16 1. Возрастание и убывание функций |
№1. | По данному графику функции постройте вид графиков . Решение: 1) На интервале убывает, , . 2) На интервале возрастает, . 3) На интервале убывает, . 4) . 5) На интервале возрастает, , на интервале убывает, . Эти соображения позволяют построить примерный график . 6) Та же последовательность действий, примененная к графику функции , дает примерный график второй производной . |
№2. | По данному графику производной постройте вид графика функции . Решение: 1) На интервале , возрастает, , т.е., скорость возрастания также неограниченно возрастает, а следовательно, и сама функция неограниченно возрастает, т.о., – вертикальная асимптота графика. 2) На интервале , возрастает, причем , (чем ближе точка к – справа от нее, тем больше скорость возрастания), что указывает, что , т.е., – точка разрыва второго рода. 3) В точке производная меняет знак с «+» на «–», – точка локального максимума. 4) На интервале , убывает. 5) В точке производная меняет знак с «–» на «+», – точка локального минимума. 6) При функция возрастает. Эти соображения позволяют построить примерный график : |
№3. | Функция возрастает в своей области определения, так как при любых . |
№4. | Функция возрастает на интервале , так как для . Полезный вывод: поскольку , то , значит для . |
Экстремумы функции
Необходимым условием существования экстремумафункции является равенство нулю ее производной в точке экстремума: (если в этой точке производная существует).
Геометрически это означает, что касательная к графику функции в точке экстремума параллельна оси .
Достаточным условием существования экстремума функции в точке является изменение знака ее первой производной в этой точке:
в точке максимума функции знак производной изменяется с положительного на отрицательный, что соответствует возрастанию функции до точки максимума при и убыванию после нее при .
Существуют точки, в которых необходимое условие экстремума не выполняется, но тем не менее функция в них может иметь экстремум.
Критическими называются точки, в которых производная функции равняется нулю, не существует или обращается в бесконечность. Критические точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности.
№ п/п | Примеры ПП 16 2. Экстремумы функции |
№5. | Для функции на отрезке значение является минимальным, т.к. производная равна нулю в точке . |
№6. | Функция не дифференцируема в точке , так как касательные к графику функции слева и справа от точки различны, однако функция имеет минимум в этой точке. Функция является строго убывающей при и строго возрастающей при . В точке график имеет острый минимум (так называемую угловую точку). |
№7 | Функция и ее производная имеют бесконечный разрыв при . Функция возрастает при и убывает при , но экстремума в точке не имеет. |
№8. | Функция не дифференцируема в точке , так как при , график функции имеет в точке 0 вертикальную касательную, функция является убывающей при , возрастающей при , в точке функция имеет минимум (такая точка графика называется точкой возврата). |
№9. | Для функции в точке выполняется необходимое условие экстремума . Однако точка не является точкой экстремума этой функции, в ней не выполняется достаточное условие экстремума, т.к. для любых и функция возрастает на всей числовой оси. |
№10 | Для функции в точке производная не существует, однако экстремум отсутствует. |
Асимптоты графика функции
№ п/п | Примеры ПП 16 3. Асимптоты графика функции |
№11. | У графика существует левая горизонтальная асимптота ( ) и не существует правой горизонтальной асимптоты. |
№12 | У графика существует правая горизонтальная асимптота ( ) и не существует левой горизонтальной асимптоты. |
№13 | У графика существуют обе горизонтальные асимптоты: - левая горизонтальная асимптота ( ), - правая горизонтальная асимптота ( ). |
№14 | У графика обе горизонтальных асимптоты существуют и совпадают ( ). Кроме того, график функции имеет вертикальную асимптоту , поскольку , . |
№15 | Кривая имеет вертикальные асимптоты и . |
№16 | Построим график функции без использования производной. Преобразуем выражение: , . График этой функции получается смещением графика на две единицы влево, на одну единицу вверх и выкалыванием точки графика с абсциссой . Прямые и являются вертикальной и горизонтальной асимптотами. Для гиперболы с центром симметрии в точке уравнения вертикальной и горизонтальной асимптот имеют вид: и . |
№17 | Исследуйте поведение функции в точке . , , , . Прямая является вертикальной асимптотой. |
№18 | Найдите асимптоты графика функции . , , . График имеет две несовпадающие наклонные асимптоты: левую и правую . |