Возрастание и убывание функций

ПП 16.

I. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ и построение графиков

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

Графики элементарных функций

Возрастание и убывание функций - student2.ru 1. Линейная функция: Возрастание и убывание функций - student2.ru .

Возрастание и убывание функций - student2.ru

2. Квадратичная функция:
Возрастание и убывание функций - student2.ru .

Возрастание и убывание функций - student2.ru

3. Степенные функции

3.1. Возрастание и убывание функций - student2.ru .
3.2. Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru .

Возрастание и убывание функций - student2.ru

3.3. Иррациональные Возрастание и убывание функций - student2.ru .


Возрастание и убывание функций - student2.ru Трансцендентные функции

4. Показательная Возрастание и убывание функций - student2.ru .

5. Логарифмическая Возрастание и убывание функций - student2.ru .

Возрастание и убывание функций - student2.ru 6. Тригонометрические функции

6.1. Возрастание и убывание функций - student2.ru .
6.2. Возрастание и убывание функций - student2.ru .
6.3. Возрастание и убывание функций - student2.ru .
6.4. Возрастание и убывание функций - student2.ru .

Возрастание и убывание функций - student2.ru 7. Обратные тригонометрические функции

7.1. Возрастание и убывание функций - student2.ru . Возрастание и убывание функций - student2.ru .

7.2. Возрастание и убывание функций - student2.ru . Возрастание и убывание функций - student2.ru .

7.3. Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru .

7.4. Возрастание и убывание функций - student2.ru . Возрастание и убывание функций - student2.ru .

Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru .

8. Гиперболические функции

8.1. Гиперболический синус

Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru .

8.2. Гиперболический косинус

Возрастание и убывание функций - student2.ru .

8.3. Гиперболический тангенс

Возрастание и убывание функций - student2.ru .

8.4. Гиперболический котангенс

Возрастание и убывание функций - student2.ru . Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru .

Асимптоты

1) Возрастание и убывание функций - student2.ru - вертикальная асимптота Возрастание и убывание функций - student2.ru , если Возрастание и убывание функций - student2.ru .

2) Возрастание и убывание функций - student2.ru - правая (левая) горизонтальная асимптота Возрастание и убывание функций - student2.ru , если Возрастание и убывание функций - student2.ru .

3) Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru - наклонная асимптота Возрастание и убывание функций - student2.ru при Возрастание и убывание функций - student2.ru .

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Интервалы монотонности

Функция Возрастание и убывание функций - student2.ru , дифференцируемая на отрезке Возрастание и убывание функций - student2.ru , возрастает (убывает) тогда и только тогда, когда Возрастание и убывание функций - student2.ru ( Возрастание и убывание функций - student2.ru ), Возрастание и убывание функций - student2.ru .

Правило отыскания экстремумов функции

Возрастание и убывание функций - student2.ru Чтобы найти точки максимума и минимума функции Возрастание и убывание функций - student2.ru , надо:

1). Найти производную Возрастание и убывание функций - student2.ru , приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение Возрастание и убывание функций - student2.ru .

2). Найти точки, в которых производная Возрастание и убывание функций - student2.ru не существует.

3). Исследовать знак производной Возрастание и убывание функций - student2.ru слева и справа от каждой критической точки.

Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru Экстремум
Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru нет
Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru max
Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru min
Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru нет

С помощью второй производной:

Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru Экстремум
Возрастание и убывание функций - student2.ru max
Возрастание и убывание функций - student2.ru min
 

Точки перегиба

Функция Возрастание и убывание функций - student2.ru , дифференцируемая на отрезке Возрастание и убывание функций - student2.ru , выпукла вниз (вверх) тогда и только тогда, когда Возрастание и убывание функций - student2.ru ( Возрастание и убывание функций - student2.ru ), Возрастание и убывание функций - student2.ru .

Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru Перегиб
Возрастание и убывание функций - student2.ru вып. вниз Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru вып. вниз нет
Возрастание и убывание функций - student2.ru вып. вниз Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru вып. вверх есть
Возрастание и убывание функций - student2.ru вып. вверх Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru вып. вниз есть
Возрастание и убывание функций - student2.ru вып. вверх Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru вып. вверх нет

Общая схема исследования функции и построения графика

1. Найти область определения функции; найти область значений функции; найти точки пересечения графика с осями координат, указать интервалы знакопостоянства функции.

2. Проверить функцию на периодичность; проверить функцию на четность и нечетность.

3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках; определить наличие горизонтальных, вертикальных и наклонных асимптот.

4. Вычислив первую производную, найти критические точки и интервалы монотонности функции, выделить точки локальных экстремумов.

5. Вычислив вторую производную, найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

6. Построить график.

Типы задач

Возрастание и убывание функций

Возрастание и убывание функций - student2.ru Функция Возрастание и убывание функций - student2.ru , дифференцируемая на интервале Возрастание и убывание функций - student2.ru , возрастает (убывает) на Возрастание и убывание функций - student2.ruтогда и только тогда, когда Возрастание и убывание функций - student2.ru ( Возрастание и убывание функций - student2.ru ) для всех Возрастание и убывание функций - student2.ru .

Геометрически это означает, что угол наклона касательной к графику возрастающей (убывающей) дифференцируемой функции острый (тупой), а угловые коэффициенты касательных соответственно положительны или отрицательны.


№ п/п Примеры ПП 16 1. Возрастание и убывание функций  
№1. Возрастание и убывание функций - student2.ru По данному графику функции Возрастание и убывание функций - student2.ru постройте вид графиков Возрастание и убывание функций - student2.ru . Решение: 1) На интервале Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru убывает, Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru . Возрастание и убывание функций - student2.ru 2) На интервале Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru возрастает, Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru . 3) На интервале Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru убывает, Возрастание и убывание функций - student2.ru . 4) Возрастание и убывание функций - student2.ru . 5) На интервале Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru возрастает, Возрастание и убывание функций - student2.ru , на интервале Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru убывает, Возрастание и убывание функций - student2.ru . Эти соображения позволяют построить примерный график Возрастание и убывание функций - student2.ru . 6) Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru Та же последовательность действий, примененная к графику функции Возрастание и убывание функций - student2.ru , дает примерный график второй производной Возрастание и убывание функций - student2.ru .    
№2. Возрастание и убывание функций - student2.ru По данному графику производной Возрастание и убывание функций - student2.ru постройте вид графика функции Возрастание и убывание функций - student2.ru . Решение: 1) На интервале Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru возрастает, Возрастание и убывание функций - student2.ru , т.е., скорость возрастания Возрастание и убывание функций - student2.ru также неограниченно возрастает, а следовательно, и сама функция Возрастание и убывание функций - student2.ru неограниченно возрастает, т.о., Возрастание и убывание функций - student2.ru – вертикальная асимптота графика. 2) На интервале Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru возрастает, причем Возрастание и убывание функций - student2.ru , (чем ближе точка к Возрастание и убывание функций - student2.ru – справа от нее, тем больше скорость возрастания), что указывает, что Возрастание и убывание функций - student2.ru , т.е., Возрастание и убывание функций - student2.ru – точка разрыва второго рода. 3) В точке Возрастание и убывание функций - student2.ru производная меняет знак с «+» на «–», Возрастание и убывание функций - student2.ru – точка локального максимума. 4) На интервале Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru убывает. 5) В точке Возрастание и убывание функций - student2.ru производная меняет знак с «–» на «+», Возрастание и убывание функций - student2.ru – точка локального минимума. Возрастание и убывание функций - student2.ru 6) При Возрастание и убывание функций - student2.ru функция возрастает. Эти соображения позволяют построить примерный график Возрастание и убывание функций - student2.ru :
№3. Функция Возрастание и убывание функций - student2.ru возрастает в своей области определения, так как Возрастание и убывание функций - student2.ru при любых Возрастание и убывание функций - student2.ru .
№4. Функция Возрастание и убывание функций - student2.ru возрастает на интервале Возрастание и убывание функций - student2.ru , так как для Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru . Полезный вывод: поскольку Возрастание и убывание функций - student2.ru , то Возрастание и убывание функций - student2.ru , значит Возрастание и убывание функций - student2.ru для Возрастание и убывание функций - student2.ru .

Экстремумы функции

Необходимым условием существования экстремумафункции является равенство нулю ее производной в точке экстремума: Возрастание и убывание функций - student2.ru (если в этой точке производная существует).

Геометрически это означает, что касательная к графику функции Возрастание и убывание функций - student2.ru в точке экстремума параллельна оси Возрастание и убывание функций - student2.ru .

Достаточным условием существования экстремума функции в точке Возрастание и убывание функций - student2.ru является изменение знака ее первой производной в этой точке:

в точке Возрастание и убывание функций - student2.ru максимума функции знак производной изменяется с положительного на отрицательный, что соответствует возрастанию функции до точки максимума при Возрастание и убывание функций - student2.ru и убыванию после нее при Возрастание и убывание функций - student2.ru .

Существуют точки, в которых необходимое условие экстремума не выполняется, но тем не менее функция в них может иметь экстремум.

Критическими называются точки, в которых производная функции равняется нулю, не существует или обращается в бесконечность. Критические точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности.

№ п/п Примеры ПП 16 2. Экстремумы функции  
№5. Для функции Возрастание и убывание функций - student2.ru на отрезке Возрастание и убывание функций - student2.ru значение Возрастание и убывание функций - student2.ru является минимальным, т.к. производная Возрастание и убывание функций - student2.ru равна нулю в точке Возрастание и убывание функций - student2.ru .
№6. Возрастание и убывание функций - student2.ru Функция Возрастание и убывание функций - student2.ru не дифференцируема в точке Возрастание и убывание функций - student2.ru , так как касательные к графику функции слева и справа от точки Возрастание и убывание функций - student2.ru различны, однако функция имеет минимум в этой точке. Функция Возрастание и убывание функций - student2.ru является строго убывающей при Возрастание и убывание функций - student2.ru и строго возрастающей при Возрастание и убывание функций - student2.ru . В точке Возрастание и убывание функций - student2.ru график имеет острый минимум (так называемую угловую точку).
№7 Возрастание и убывание функций - student2.ru Функция Возрастание и убывание функций - student2.ru и ее производная имеют бесконечный разрыв при Возрастание и убывание функций - student2.ru . Функция возрастает при Возрастание и убывание функций - student2.ru и убывает при Возрастание и убывание функций - student2.ru , но экстремума в точке Возрастание и убывание функций - student2.ru не имеет.
№8. Возрастание и убывание функций - student2.ru Функция Возрастание и убывание функций - student2.ru не дифференцируема в точке Возрастание и убывание функций - student2.ru , так как Возрастание и убывание функций - student2.ru при Возрастание и убывание функций - student2.ru , график функции имеет в точке 0 вертикальную касательную, функция является убывающей при Возрастание и убывание функций - student2.ru , возрастающей при Возрастание и убывание функций - student2.ru , в точке Возрастание и убывание функций - student2.ru функция имеет минимум (такая точка графика называется точкой возврата).
№9. Возрастание и убывание функций - student2.ru Для функции Возрастание и убывание функций - student2.ru в точке Возрастание и убывание функций - student2.ru выполняется необходимое условие экстремума Возрастание и убывание функций - student2.ru . Однако точка Возрастание и убывание функций - student2.ru не является точкой экстремума этой функции, в ней не выполняется достаточное условие экстремума, т.к. Возрастание и убывание функций - student2.ru для любых Возрастание и убывание функций - student2.ru и функция Возрастание и убывание функций - student2.ru возрастает на всей числовой оси.
№10 Возрастание и убывание функций - student2.ru Для функции Возрастание и убывание функций - student2.ru в точке Возрастание и убывание функций - student2.ru производная не существует, однако экстремум отсутствует.

Асимптоты графика функции

№ п/п Примеры ПП 16 3. Асимптоты графика функции
№11. У графика Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru существует левая горизонтальная асимптота Возрастание и убывание функций - student2.ru ( Возрастание и убывание функций - student2.ru ) и не существует правой горизонтальной асимптоты.
№12 У графика Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru существует правая горизонтальная асимптота Возрастание и убывание функций - student2.ru ( Возрастание и убывание функций - student2.ru ) и не существует левой горизонтальной асимптоты.
№13 У графика Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru существуют обе горизонтальные асимптоты: Возрастание и убывание функций - student2.ru - левая горизонтальная асимптота ( Возрастание и убывание функций - student2.ru ), Возрастание и убывание функций - student2.ru - правая горизонтальная асимптота ( Возрастание и убывание функций - student2.ru ).
№14 Возрастание и убывание функций - student2.ru У графика Возрастание и убывание функций - student2.ru обе горизонтальных асимптоты Возрастание и убывание функций - student2.ru существуют и совпадают ( Возрастание и убывание функций - student2.ru ). Кроме того, график функции Возрастание и убывание функций - student2.ru имеет вертикальную асимптоту Возрастание и убывание функций - student2.ru , поскольку Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru .
№15 Возрастание и убывание функций - student2.ru Кривая Возрастание и убывание функций - student2.ru имеет вертикальные асимптоты Возрастание и убывание функций - student2.ru и Возрастание и убывание функций - student2.ru .
№16 Возрастание и убывание функций - student2.ru Построим график функции Возрастание и убывание функций - student2.ru без использования производной. Преобразуем выражение: Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru . График этой функции получается смещением графика Возрастание и убывание функций - student2.ru на две единицы влево, на одну единицу вверх и выкалыванием точки графика с абсциссой Возрастание и убывание функций - student2.ru . Прямые Возрастание и убывание функций - student2.ru и Возрастание и убывание функций - student2.ru являются вертикальной и горизонтальной асимптотами. Для гиперболы с центром симметрии в точке Возрастание и убывание функций - student2.ru Возрастание и убывание функций - student2.ru уравнения вертикальной и горизонтальной асимптот имеют вид: Возрастание и убывание функций - student2.ru и Возрастание и убывание функций - student2.ru .
№17 Исследуйте поведение функции Возрастание и убывание функций - student2.ru в точке Возрастание и убывание функций - student2.ru. Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru . Прямая Возрастание и убывание функций - student2.ru является вертикальной асимптотой.
№18 Найдите асимптоты графика функции Возрастание и убывание функций - student2.ru . Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru , Возрастание и убывание функций - student2.ru . График имеет две несовпадающие наклонные асимптоты: левую Возрастание и убывание функций - student2.ru и правую Возрастание и убывание функций - student2.ru . Возрастание и убывание функций - student2.ru

Наши рекомендации