Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Пусть рассматривается функция , аргументы x и y которой удовлетворяют условию , называемому уравнением связи.

Определение

Точка называется точкой условного максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек (x,y) из этой окрестности удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Точка условного максимума (минимума) не является точкой безусловного экстремума.

Наиболее простым способом нахождения условного экстремума функции двух переменных является сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Допустим уравнение связи удалось разрешить относительно одной из переменных, например, выразить y через x: . Подставив полученное выражение в функцию двух переменных, получим , то есть функцию одной переменной. Ее экстремум и будет условным экстремумом функции .

Пример

Найти точки максимума и минимума функции при условии .

Решение

Выразим из уравнения переменную y через переменную x и подставим полученное выражение в функцию z. Получаем . Эта функция имеет единственный минимум при x₀=3. Соответствующее значение функции . Таким образом, (3, 1) – точка условного экстремума.

В рассмотренном примере уравнение связи оказалось линейным, поэтому его легко удалось разрешить относительно одной из переменных. Однако в более сложных случаях сделать это не удается.

Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод неопределенных множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию трех переменных .

Эта функция называется функцией Лагранжа, а l – множителем Лагранжа.

Теорема

Если точка является точкой условного экстремума функции при условии , то существует значение l₀ такое, что точка является точкой экстремума функции .

Таким образом, для нахождения условного экстремума функции при условии требуется найти решение системы

Последнее из этих уравнений совпадает с уравнением связи.

Пример

Найти точки экстремума функции при условии , используя метод множителей Лагранжа.

Решение

Составляем функцию Лагранжа . Приравняем к нулю ее частные производные, получим систему уравнений

Ее единственное решение . Таким образом, точкой условного экстремума может быть только точка (3,1). Нетрудно убедиться, что в этой точке функция имеет условный минимум.

Упражнения

Найти частные производные следующих функций:

1.		2.
3.		4.

Найти полные дифференциалы от следующих функций:

5.		6.
7.		8.

Вычислить частные производные второго порядка:

9.

10.