Проверка гипотезы о виде распределения

Пусть Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru - выборка объема Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru , представляющая собой результат Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru независимых наблюдений над случайной величиной Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru , относительно распределения которой выдвинута простая гипотеза Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru
( Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru - теоретическая функция распределения, соответствующая гипотезе Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru ). Наиболее распространенным критерием проверки этой гипотезы Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru является критерии Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru Пирсона.

Чтобы воспользоваться критерием Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru Пирсона, выборочные данные Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru следует предварительно сгруппировать, представив их в виде интервального статистического ряда. Пусть Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru -интервалы группировки; Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru - частоты попадания выборочных значений в интервалы Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru соответственно ( Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru ).

Обозначим Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru теоретическую (соответствующую Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru ) вероятность попадания случайной величины Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru в интервал Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru

Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru .

Статистикой критерия Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru является величина:

Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru ,

которая характеризует отклонение эмпирической функции распределения Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru от теоретической функции распределения Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru (значение Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru является приращением эмпирической функции Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru на интервале Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru , а Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru - приращением теоретической функции Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru на том же интервале). Поскольку относительные частоты Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru сближаются с вероятностями Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru при Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru , то в случае справедливости гипотезы Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru значение величины Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru не должно существенно отличаться от нуля. Поэтому критическая область критерия Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru задается в виде Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru , где Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru – значение величины Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru , полученное для заданной выборки, а порог Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru определяется по заданному уровню значимости Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru так, чтобы Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru . Нахождение Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru основано на том факте (известном как теорема Пирсона), что случайная величина Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru имеет при Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru предельное распределение хи - квадрат Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru с Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru степенью свободы.

На практике предельное распределение Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru можно использовать с хорошим приближением при Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru и Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru . При выполнении этих условий для заданного уровня значимости Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru можно положить Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru , где Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru является (1— Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru )-квантилью распределения Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru .

Таким образом, критерий согласия Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru Пирсона состоит в следующем:

1. По заданному уровню значимости Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru находится по табл. П4 порог
Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru .

2. По заданной выборке Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru объема Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru определяется число Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru интервалов группировки так, чтобы Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru . Вычисляется значение статистики Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru .

3. Если Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru , то гипотезу Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru отвергают.

4. Если Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru , то гипотезу Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru принимают.

Если случайная величина Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru дискретная, Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru - различные выборочные значения, а Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru в случае справедливости Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru , то всегда можно определить Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru интервалов, содержащих ровно по одному выборочному значению. Поэтому в данном случае можно сразу считать, что Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru , где Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru – частота выборочного значения Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru .

На практике теоретическое распределение полностью бывает определено редко. Чаще известен предположительно только тип распределения, но неизвестны параметры его определяющие. В этом случае гипотеза о виде распределения, подлежащая проверке, имеет вид Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru и является сложной параметрической гипотезой.

Критерий согласия Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru Пирсона применим для проверки такой гипотезы Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru со следующими изменениями:

а) вероятности Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru , Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru вычисляют, заменяя неизвестные параметры Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru их оценками максимального правдоподобия Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru : Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru ;

б) число степеней свободы предельного распределения хи - квадрат должно быть уменьшено на число неизвестных параметров и считаться равным Проверка гипотезы о виде распределения - student2.ru .

Наши рекомендации