Формула интегрирования по частям

Интегрирование функций одной

Переменной. Приложения.

Методические указания по выполнению модуля-3 (МА)

Курск 2007

Составитель: Н.А.Моргунова, А.Ф.Пихлап

УДК 517

Рецензент

Кандидат педагогических наук, доцент кафедры

высшей математики Гончарова З.Г.

Интегрирование функций одной переменной. Приложения. [Текст]: методические указания по выполнению модуля-3 по математическому анализу / сост.: Н.А.Моргунова, А.Ф.Пихлап; Курск. гос. техн. ун-т; Курск, 2007. 51 с., табл. 1. Рис.13. Библиогр.: 4 назв.

Излагаются краткие методические рекомендации по темам математического анализа: неопределенные интегралы и методы их решения, определенный интеграл и его вычисления, несобственные интегралы, приложения определенных интегралов.

Методические указания предназначены для студентов технических и экономических специальностей.

.

Текст печатается в авторской редакции

ИД №06430 от 10. 12. 2001.

Подписано в печать ________ . Формат 60х84 1/16. Печать офсетная.

Усл. печ. л. Уч.-изд. л. .Тираж 50 экз. Заказ ……. Бесплатно.

Курский государственный технический университет.

Издательско-полиграфический центр Курского государственного технического университета. 305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

Содержание

Введение …………………………………………………………………4

1. Неопределенный интеграл……………………………………...…….5

1.1. Табличное интегрирование. Замена переменной в

неопределенном интеграле………………………………..………5

1.2. Формула интегрирования по частям…………………………...…8

1.3. Интегрирование рациональных функций……………………….10

1.4. Интегрирование некоторых выражений, содержащих

радикалы………………………………………..…………………19

1.5. Интегрирование биномиальных дифференциалов…………..…23

1.6. Интегрирование некоторых выражений, содержащих

тригонометрические функции………………………………...….25

2. Определенный интеграл………………………………………..……29

2.1. Определение и свойства определенного интеграла………..…29

2.2. Методы вычисления определенного интеграла………………31

2.2.1. Теорема Ньютона-Лейбница……………………………31

2.2.2. Методы замены переменной в определенном

интеграле……………………………………………...…32

2.2.3. Формула интегрирования по частям в определенном

интеграле……………………………………………...….33

3. Несобственные интегралы……………………………………..……34

3.1. Несобственные интегралы с бесконечными

пределами интегрирования…………………………………..…34

3.2 Несобственные интегралы от неограниченной функции…...…38

4. Приложение определенного интеграла……………………………..40

4.1. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых

координатах……………………………………………………..40

4.2. Вычисление площади фигуры, ограниченной линией,

заданной параметрически………………………………………43

4.3. Вычисление площади плоской фигуры в

полярных координатах…………………………………………44

4.4. Вычисление длины дуги плоской кривой………………….…46

4.5. Вычисление объема тел вращения…………………………….47

4.6. Вычисление площади поверхностей тел вращения…………..50

Список рекомендуемой литературы………………………………..51

Введение

Цель настоящего методического пособия - научить студента технике интегрирования и умению решать различные задачи на приложения определенных интегралов.

Каждый параграф начинается с краткого теоретического введения, где приводятся основные определения, формулы, теоремы без доказательств. При подборе задач авторы прежде всего исходили из учета тех трудностей, с которыми могут встретиться студенты на пути овладения методами интегрирования.

В работе приведены 52 примера с подробными решениями по указанной тематике. При вычислении площадей плоских фигур, длины дуги кривой, объемов тел вращения решения иллюстрировались для наглядности рисунками и подробными пояснениями.

Данное пособие является приложением к модулю 3 системы РИТМо «Интегрирование функций», в котором приведены индивидуальные задания по темам «Неопределенные интегралы», «Несобственные интегралы» и «Определенные интегралы и их приложения». Методическое пособие предназначено для студентов первого курса технических и экономических специальностей.

Авторы надеются, что это методическое издание поможет студентам в самостоятельной работе по выполнению модуля и изучению данного материала.

Неопределенный интеграл

Табличное интегрирование. Замена переменной в

Неопределенном интеграле

Введем несколько определений, свойств интегралов, формул.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на отрезке [a,b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство .

Если функция имеет первообразную, то функции вида , где С - постоянная, также являются первообразными.

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность (или семейство) всех ее первообразных:

.

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции и основывается на следующих правилах интегрирования:

а)

б)

в) ;

г) где С - постоянная;

д) ;

е) ;

ж) Если и , то

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

1)

,

где - монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t;

2)

, u - новая переменная.

Таблица основных интегралов

1) ; 2) ;

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13)

14)

15)

16) ;

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Используя свойства степеней и правила интегрирования, получим

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. Правило ж) позволяет найти интеграл с помощью метода подведения функции под знак дифференциала. Исходный интеграл можно привести к формуле 2 из таблицы интегралов, преобразовав его следующим образом

, где

Далее в качестве переменной выберем , тогда получим интеграл от степенной функции

.

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. Применяя тот же прием, что и в предыдущем примере, получим

Пример 4. Найти интеграл .

Решение. Введем новую переменную тогда .

Отсюда получаем

Замечание. Можно было воспользоваться формулой е).

Пример 5. Найти интеграл .

Решение. Выполним подстановку тогда , .

Применив формулу 17, имеем:

Формула интегрирования по частям

,
где - непрерывно дифференцируемые функции.

Применение данной формулы целесообразно в тех случаях, когда под знаком интеграла стоит произведение разных по смыслу функций - степенной и показательной, степенной и тригонометрической, показательной и тригонометрической, логарифмической и степенной и т.п.

При этом за u(x) обозначают такую функцию, которая при дифференцировании упрощается, а за dv - ту часть подынтегрального выражения, интеграл от которой может быть найден.

К таким интегралам, например, относятся

и т.д.,

где - многочлен степени n.

Пример 6. Найти интеграл .

Решение. Пусть , тогда ; тогда .

По формуле интегрирования по частям находим

Пример 7. Найти интеграл .

Решение. Используя тот же прием интегрирования, что и в примере 6, получим

При отыскании некоторых интегралов формулу интегрирования по частям нужно применить несколько раз, прежде чем сведем его к табличному или получим исходный интеграл.

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Используем дважды формулу интегрирования по частям.

Таким образом, приходим к уравнению с неизвестным интегралом J:

или

,