Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері.
№22
Бөлшектеп интегралдау.
u және v дифференциалданатын функция болсын. Сонда uv көбейтіндісінің дифференциалы мына формуламен табылады. Интегралдасақ, . Бірақ, . Болғандықтан болады. Бұл бөлшектеп интегралдау формуласы деп аталады.
Мысалы.
Кейде бөлшектеп интегралдауды бірнеше рет қолдану керек болады.
Бөлшектеп интегралдау әдісімен есептелетін, жиі кездесетін кейбір интегралдарды қарастырайық.
І. интегралдар. Мұндағы к-кез келген сан. Бұл интегралдарды бөліктеп интегралдау үшін белгілеу керек.
ІІ. интегралдар. Мұндағы P(x) –көпмүшелік. Бұл интегралдарды бөліктеп интегралдау үшін -ке көбейтілген функцияны u деп белгілеу керек.
ІІІ. интегралдар. Мұндағы а және в сандар. Бұл интегралдарды екі рет бөліктеп интегралдау арқылы табылады.
Айнымалыны ауыстыру тәсілімен интегралдау.
интегралын есептегенде f(x) функциясының алғашқыфункциясы бар болғанмен, оны тікелей табу қиын болуы мүмкін. Сондықтан интеграл астындағы өрнекте деп айнымалыны ауыстырайық. Мұндағы кері функциясы бар, туындысы үздіксіз болатын үздіксіз функция болсын. Сонда болады. Сонда мынадай теңдік орындалады.
Ескерту. Кей жағдайда айнымалыны деп алмастырудан, деп алмастыру қолайлы болады. Мысалы:
Мысалы:
1. Сандық қатар және оның жинақталу.
Анақтама. , n өрнегі ақырсыз сандық қатар деп аталады. Ал сандары қатардың мүшелері, мұндағы - қатардың жалпы мүшесі деп аталады.
Анақтама. Мына қосындыларды жазып алайық:
Бұл қосындылар қатардың дербес қосындылары деп аталады.
Анақтама. Егер қатардың n да S деребес қосыныдысының ақырлы шегі S бар болса, онда қатар жинақталатын қатар деп аталып, былай жазылады
. S саны қатардың қосындысы деп аталады.
Мысал. Ақырсыз геометриялық прогрессия
=
Және гармониялық қатары =
Анықтама. Қатардың бірінші m мүшесін шығарып тастап, қалған мүшелерінен құрылған
қатарды, сол қатардың қалдық қатары немесе қалдығы деп атайды.
№26
1. Анықталған интеграл және оның қасиеттері. 1-Анықтама. [a,b] кесіндісінде f функциясы берілсін. [a,b] кесіндісін нүтелерімен бөліктерге бөлейік. Әрбір дербес аралығынан кезкелген нүктесін алайық. Және қосындысын құрайық. Бұл қосынды интегралдық қосыды деп аталады. деп белгілейік.
Егер дағы интегралдық қосынды тің шегі (егер ол бар болса) f функциясының [a,b] кесіндісіндегі анықталған интегралы деп аталады. және ол былай белгіленеді.
а сан анықталған интегралдың төменгі шегі, ал в саны жоғары шегі деп аталады.
Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері.
1-қасиет. Тұрақты көбейткішті анықталған интегралдың таңбасының алдына шығаруға болады, яғни .
2-қасиет. Бірнеше функциялардың алгебралық қосындысының анықталған интегралы сол қосылғыштардың анықталған интегралдарының қосындысына тең болады, яғни .
3-қасиет. [a,b] кесіндісінде, мұндағы a<b, берілген және функциялары шартын қанағаттандырса, онда болады.
4-қасиет. Егер m және M f(x) функциясының [a,b] кесіндісіндегі ең кіші және ең үлкен мәндері болсын, мұндағы , онда болады.
5-қасиет. (Орта мән туралы теорема).
Егер f(x) функциясы [a,b] кесіндісінде үздіксіз болса, онда теңдігі орындалатындай [a,b] кесіндісінде бір нүктесі табылады.
6-қасиет. Кезкелген үш сан а, в, с үшін теңдігі орындалады.