Исықсызықты интегралдың қасиеттері

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru тұрақты шама болсын.Онда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Шынында да, кез келген T бөлінуі үшін болғандықтан шама Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болса, онда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Бұдан Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болатыны шығады.

Теорема 27.( Риман интегралы арқылы Қисықсызықты интегралдың мәнін есептеу).

g(x,y) функциясы L-де үзіліссіз болсын.Онда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru қисықсызықты интегралдар табылады және сәйкесінше

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru тең.Дәлелденді.

Алдымен Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru интегралын қарастырамыз. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru интегралы үшін Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru интегралдық қосынды ,қисықсызықты интегралдың Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru интегралдық қосындысынан Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru - ның орнына онда кейбір Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru кезінде Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шамасының тұруымен ерекшеленеді, яғни Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

нүктесінде алынған және t айнымаланың Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru өсімшесіне жауап беретін қисықтың доға ұзындығының дифференциалы.Ары қарай,Стильтес интегралының анықтамасына жүгінуге болады: Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru мұндағы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru және сонымен бірге интегралдардың теңдігін дәлелдеуді аяқтауға болар еді, бірақ біз осы фактының тікелей дәлелдеуін береміз.[a,b] кесіндісіндегі Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru туындысының үзіліссіздігіне байланысты онда оның бірқалыпты үзіліссіздігін аламыз.Сонда кез келген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru нүктелері үшін Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru аламыз,әрі Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Бұдан Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru g(x,y) функциясы L компактысында үзіліссіз болғандықтан,ол онда шектелген,яғни мынадай Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru табылады да ,кез келген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru үшін Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болады.

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru интегралдық қосындысын түрлендіріеміз .Мынаны аламыз:

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Мұндағы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru .

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru кезде Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болғандықтан,онда бұл Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бірмезетте жинақталатынын және бір және шегі болатынын білдіреді.Дәлелденді.

Теорема 27. Қисықсызықты интегралдардың мәнін есептеудің әмбебап әдісін береді.Осы теореманың салдарынан қисықсызықты интегралдардың Риман интегралға жай көшуінен алынады.

Салдар 1.Келесі теңдік дұрыс:

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru мұндағы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru L қисығының (x,y) нүктесіндегі жанама векторы ; Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru - Ox және Oy координат остері бойынша бағытталған ,бірлік орттар.

Салдар 2.Егер кез келген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru нүктесі үшін Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru теңсіздігі дұрыс болса,онда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru аламыз.

Салдар 3. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru теңсіздігі орындалады.

Салдар 4.Егер g функциясы L қисығында үзіліссіз болса,онда мынадай Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru нүктесі табылады да, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болады, мұндағы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru - L қисығының ұзындығы.Бірінші және екінше текті интегралдардың мәндері параметрлеуді таңдаудан тәуелді емес , өйткені одан оларды анықтаудың интегралдық қосындысынан тәуелді емес.Дербес жағдайда , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru интегралы А және B нүктесінің қайсысы басы,ал қайсысы L қисығының соңы екендігіне тәуелді емес (бұл жағдайда параметрлеуді ,мысалы , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru қатысымен анықтауға болады),Сонымен бірге , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru теңдігінің орны бар ,яғни интегралдың мәні L қисығын айналып өту бет бағытын таңдаудан тәуелді.

L қисығының екі параметрлеуін қарастырамыз:

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru және – бұл [а₁ , b₁] кесіндісінің [а , b] кесіндісінде тегіс бейнелеуі болсын.

Онда , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru аламыз. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru туындысының [a,b] кесіндісінің барлық жерінде бір және тек сол ғана таңбаға ие болатынын , атап өтейік . Қарсы жағдайда , Вейерштрасс теоремасы бойынша мынадай Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru нүктесі табылады да , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болады . Бірақ , онда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru және L қисығының ерекше нүктесі бар , яғни ол ерекшеленген болады , ол негізінде ол бұлай емес .

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бейнелеуі кезінде [a₁ ,b₁] кесіндісінің шектік нүктелері , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru кезінде [a ,b] кесіндісінің шектік нүктелеріне көшетін болғандықтан , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Шынында да , Лагранж теоремасынан кейбір Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru кезінде Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru аламыз . Олай болса , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru , ал бұл Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru , болатынын білдіреді . Ары қарай Теорема 27 және Риман интегралындағы айнымалыны алмастыру туралы теореманы пайдаланамыз . Келесі теңдіктер тізбесін аламыз : Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru жағдайында Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru аламыз . Алдыңғы пайымдауды қайталап , бұл жағдайда бір параметрлеуден басқа параметрлеуге көшу кезінде келесі теңдіктің дұрыстығын аламыз: Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru .

Өлшемділігі екіден жоғары кеңістіктегі қисықсызықты интеграл үшін ұқсас қасиеттердің орны бар . Мысалы , үшөлшемді жағдайда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru мұндағы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Мысал . 1)Эллипс бойынша Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru , функциясынан I-текті интегралдарды есептеу керек .

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru .

2) Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru екінші текті интегралды (1.1) нүктесіне жүргізілген түзусызықты

кесінді бойымен және осы нүктелерді қосатын Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru параболасының доғасы бойынша есептеу керек . Бірінші жағдайда (y=x) мынаны аламыз:

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru .Екінші жағдайда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Қос интегралдан қайталанғанға ауысу

Қос және қайталанған интегралдардың теңдігі туралы теореманы құрайық.

Теорема 7. Функция Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru тіктөртбұрыш Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru -де интегралданатын болсын. Сол сияқты бір айнымалылы у-тің Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru функциясының ке-келген бекітілген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru мәні үшін, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru кесіндісінде у бойынша интегралданады және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Сонда мына формуланың орны бар:

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru яғни қос интеграл қайталанған интегралға тең. Дәлелдеуі.

Тіктөртбұрыш Р-ның кез-келген T=Tp бөлінуі үшін.

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru теңсіздігін аламыз, мұндағы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru мен Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru k=1, …,m;

l=1, …,n шамаларының дағдылы мағынасы бар.

Бекітілген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru кезінде бұл теңдікті Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru -ден Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru -ге дейін у бойынша интегралдаймыз. Сонда

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Бұл теңсіздікті l бойынша қарстырамыз.

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Соңғы теңсіздікті Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru -ға көбейтіп және оны к бойынша қосып, мынаны аламыз:

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Мұндағы V(x)-I1 кесіндісінің Т бөлінуінің белгісі. Одан басқа

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Функция Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Р-да интегралданатын болғандықан, онда кез-келген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru саны үшін, мынандай Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru саны табылады да, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шартымен әрбір Т бөліну үшін , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болады. Бөліну Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бөліну жұбынан құрылған: T(x)-Ox осі бойынша, T(y)- Оу осі бойынша. Бөліну T(x) ретінде Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шартымен кез-келген бөлінуді алуға болады. Бөліну T(x) –тың кез-келген белгісін аламыз. I1 кесіндісінің V=V(x) ұсақталған бөлінуін аламыз.

А және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru сандарының екеуі де ұзындығы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru -ға тең бір кесіндіде жатады және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Бұл теңсіздік Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шартымен кез-келген ұсақталған бөліну үшін дұрыс. Олай болса, мына теңдіктің орны бар:

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Дәлелденді.

Кез-келген өлшенген D жиыны бойынша интегралдау жағдайы қарастырылғаннан айырмашылығы аз. Тіктөртбұрыш Р D-ны қамтитын болсын. Сонда анықтама бойынша

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болады, мұндағы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru функциясы D жиынында g функциясымен сәйкес және D-ның сыртында Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru үшін у нүктелерінің жиынын E(x) арқылы белгілейміз. E(x) жиыны Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru кесінділерінің шектеулі санынан тұрады. Сонда егер Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru , мұндағы

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Формуласының орны бар және ол теорема 7-нің тұжырымын жалпылайды.

Қос интегралдың негізгі қасиеттері

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru -Жордан бойынша өлшенетін жиын және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru функциялары қарстырылатын жиындағы Риман бойынша интегралданады. Онда келесі қасиеттер орынды болады.

1) Мына теңдіктер дұрыс:

a) Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

б) Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru (сызықтық қасиеті).

2) g1 және g2 функциялары D-да интегралданатын болсын, онда g1g2 D-да интегралданады.

3) D-да Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ruИсықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru теңсіздіктері дұрыс болсын. Бұл жағдайда:

a) Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ruИсықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru (монотонды қасиеті)

б) D-да сондай-ақ Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru интегралданатын болсын. Онда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ruИсықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

в) Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болсын. Онда мынадай m<c<M, c саны табылып,

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

(орта туралы теорема)

4) Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru .

Бұл тұжырым Жордан өлшемінің және жалпыланған қос интеграл анықтамалаының эквиваленттілігінен шығады.

5) Егер Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болса, онда D- да шектелген кез-келген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru функциясы үшін

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Дәлелденуі: Функция Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru D жиынында шектелген болғандықтан, онда мынадай M>0 саны табылады да, барлық Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru нүктелері үшін Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru теңсіздігі орындалаы. 3), 1) және 4) қасиеттерден мынаны аламыз:

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Дәлелденді.

6) Облыстар D1 және D2-нің ортақ ішкі нүктелері жоқ болсын. Онда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru (аддитивтілік қасиеті)

Дәлелденуі: Стандартты тіктөртбұрыш D1 және D2 қамтитын болсын. Онда анықтама бойынша

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Мұндағы: Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Бұдан және интегралдың сызықтық қасиетінен мынаны аламыз:

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Дәлелденді.

7) Егер Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru функцияларының мәндері D1 жиынында ғана айырмашылығы болса, әрі Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru онда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Дәлелденуі.Шындығында да, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Лебег критерийі

Теорема 21.(Лебег критерийі). Шектелген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru функциясы Р тіктөртбұрышында Риман бойынша интегралданады, сонда тек сонда ғана, егер оның үзіліс нүктелерінің D жиынының Лебегтік нөлдік мөлшері бар болса.

Дәлелдеуі: Қажеттілігі. Теорема 20 бойынша D(1/n) жиынының кез-келген натурал n саны үшін ,лебегтік нөлдік мөлшері бар болады. Бұдан Лебегтік мөлшері Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru нөлге тең дегенді аламыз.

Қажеттілігі:Кез-келген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru үшін Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болады. Сондықтан, егер мөлшер Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болса, онда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Теорема 20 дан Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru функцияның тіктөртбұрышында интегралданатыны шығады. Дәлелденді.

Теорема 22. Функция Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru тіктөртбұрышта интегралданатын болсын. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru функциясы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru кесіндісінде үзіліссіз болсы. Онда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru функциясының үзіліссіздік нүктсі болады. Олай болса, g функциясының үзіліс нүктесі Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru үзіліс нүктесі болуы мүмкін. Сондықтан Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru үзіліс нүктесінің жиыны нөлдік мөлшеден жиынның ішкіжиыны ретінде Лебегтің нөлдік мөлшері болады.(Лебег критерийі бойынша Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru үзіліс нүкте жиынының мөлшері нөлге тең). Дәлелденді.

Потенциалды және соленоидалды векторлық

Анықтама 21. Егер мынадай Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru скалярлық функциясы табылады, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болса, онда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru векторлық өрісі Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru облысында потенциалдық, ал Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru функциясының өзі онда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru векторлық өрісінің потенциалы деп аталады. Егер Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шамасын, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru нүктесінде сынамалы нүктелік бірлік массасына әсер ететін күш ретінде қарастырсақ, онда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru потенциалы осы нүктелік массаның шексіздіктен Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru нүктесіне орын ауыстыруы бойынша жұмыстың маңызы бар болады. Шынында да, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru қисығы бастапқы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru нүктесімен және айнымалы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru нүктесімен берілген болсын. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru арқылы осы қисықтың Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru доғасының ұзындығын, ал Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru арқылы оған Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru нүктесінде жүргізілген бірлік жанама векторды белгілейміз. Сонда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru күшінің сынамалы массасының орын ауыстыруы бойынша Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru .
Анықтама 22. Тұйық Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru контуры бойынша Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru векторлық өрісінің циркуляциясы деп Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шамасын айтамыз. Алдыңғы өрнектен Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru контуры бойынша Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru күшінің Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru жұмысы үшін мынаны аламыз, яғни кез келген тұйық түзетілген контур бойынша потенциалдық өрістің циркуляциясы нөлге тең.
Теорема 12. Дөңес Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru облысында тегіс векторлық өріс потенциалдық болуы үшін, мына эквиваленттік шарттардың біреуінің орындалуы қажетті және жеткілікті:
1) кез келген бөлікті-тегіс тұйық Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru қисығы үшін Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru ;
2) Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru .
Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бейнелеуі үшін, анықтамаға байланысты мына теңдіктің орны бар:
Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru .
Анықтама 23. Егер мынадай Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru векторлық өрісі табылады, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болса, онда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru векторлық өрісі соленоидалдық (немесе трубалық), ал Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru векторлық өрісі Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru өрісінің векторлық потенциалы деп аталады.
Теорема 13. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru -дөңес компакт болсын. Векторлық Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru өрісі соленоидалдық болуы үшін Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru -ның барлық нүктелері үшін, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті. Дәлелдеуі.
Қажеттілігі. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru өрісі соленоидалды, олай болса Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Кез келген векторлық Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru өрісі үшін Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru теңдігі дұрыс болғандықтан, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru облысында Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru аламыз. Қажеттілігі дәлелденді.
Жеткіліктілігі. Енді Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru облысында Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болсын. Мынадай Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru векторлық өрісі табылады, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болатынын дәлелдейік. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru векторлық өрісіне сәйкестікке дифференциалдық форманы қоямыз
Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Сонда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru -дағы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шарты, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru -дағы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шартына эквивалентті. Ал Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru теңдігін қанағаттандыратын Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru векторлық өрісінің бар болу шарты, мынадай Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru дифференциалдық форма табылады, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болатынын білдіреді. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru формассын мына түрде қарастырамыз:
Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru .
Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru екенін дәлелдейік. Теңдіктен мынаны шығарамыз: Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Форманың сызықтылығына байланысты тек қана бір қосылғышты Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru қарастыру жеткілікті. Сонда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru деп ұйғарып, мынаны аламыз:
Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru .
Одан әрі, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru қолданамыз, яғни Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Сонда,
Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru .
Бұдан Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болсын. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болатынын дәлелдеу жеткілікті. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru форманың анықтамасынан мынаны аламыз:
Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Дәлелденді.
Мысал. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru -кейбір дөңес Жордан бойынша өлшемді компакт болсын және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Кез келген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бекітілген нүктесі үшін және кез келген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru нүктесінде радиус-векторды анықтаймыз:
Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru облысының Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru көлемінің элементін мына түрде аламыз: Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru облысында Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru векторлық өрісі берілген болсын. Онда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru векторлық өрісінің Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru күштік өрісін келесі формула бойынша анықтауға болады: Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Кез келген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru нүктесінде Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru күштік анықталады. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru жағдайында Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru өрісін беретін интеграл тегіс функцияның кәдімгі Риманның үш еселі интегралын береді. Егер де Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болса, онда осы интеграл меншіксіз болады және оның жинақтылығы салыстыру ережесімен шығады (бұл үшін Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru облысын центрі Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru нүктесінде орналасқан және радиусы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шарлық қабаттарға Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шартымен бөлуге болады. Кез келген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru нүктесі үшін Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru теңдігінің орны бар екенін, яғни теорема 13-ке байланысты Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru өрісі Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru облысында соленоидалды болатынын көрсетеміз. Шынында да, егер Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru - тікбұрышты координат жүйесінде Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru координат өстері бойынша бағытталған орттар, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болса, онда

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru
Бұдан

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru
Олай болса,
Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru
яғни Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru өрісі Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru облысында соленоидалды болады. Енді Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru кезінде Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru өрісінің векторлық потенциалы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru векторлық өрісі болатынын яғни Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru өрісі Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

түрінде берілетінін көрсетейік. Интеграл астындағы функцияның тегістігіне байланысты Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru операторын қолдану барысы тәртібін және үш еселі интегралды ауытыруға болады. Сонда, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru дәлелдеу жеткілікті. Шынында да мынаны аламыз:
Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru мұндағы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru функциялары жоғарыда анықталған.

Риман критерийі

Стокс формуласы

Грин формуласы тек жазық жағдайда ғана емес, сондай ақ үш өлшемді кеңістік үшін де дұрыс.Оны Стокс формуласы деп айтады.

Т4. Д-бұл Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бейнелеуі кезіндегі жазық дөңес Д жиының бейнесі, әрі оның координаттары екі рет үзіліссіз дифференциалданатын функция болатын ,

-тегі тегіс өзгешеленбеген кеңістік болсын.

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru қисығы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru жиынының бөліктік –тегіс Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шекаралары болатын Д бетінің –тегіс шекарасы болсын. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шекараларын бағдарлау Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru параметрлеуге жауапты. Сондай-ақ P,Q,R-D-дағы тегіс функциялар.

Сонда мына формула дұрыс:

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Беттік интегралдың сызықтылығына байланысты Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru интегралы жағдайын қарастыру жеткілікті, яғни Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru формуласын дәлелдейік.

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru - Д бетін параметрлеуі болсын. Әрі Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Бұдан басқа, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru облысының Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шекарасында бөліктік-тегіс параметрлеуі Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru , берілген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru қисығындағы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru параметрлеуін анықтайды. Қисықсызықты интегралдың өрнегі туралы теоремаға байланысты анықталған интеграл арқылы мынаны аламыз: Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Сол теорема бойынша соңғы интеграл мынаған тең: Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Грин формуласын К интегралға қолданамыз. Осы үшін бірінші дифференциалдың инварианттылық формаларын және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru функциясының екінші дербес туындысын қолданамыз. Мынаны аламыз: Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Олай болса ,

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Мұнда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru жазық Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru облысының жоғарғы жағы бойынша , екінші текті беттік интеграл ретінде қарасытырылады. Бірақ Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru параметрлеу кезінде S және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru екі интеграл да бір және сол өрнекті береді. Осыған көз жеткізу үшін, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru өрнегіндегі жақшаны ашу жеткілікті, тек мұнда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru деп есептейміз. Түпкілікті мынаны аламыз, яғни S және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бір және сол қос интегралға келтіріледі. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru мұндағы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Сонымен K=S теңдігі дәлелденді. Дәлелденді.

Тек интегралдау шектеріне ғана тәуелді қисықсызықты интегралдар

Тіктөртбұрышта шектелген функцияның Риман бойынша интегралдануы

Теорема 1. Шектелген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru функциясы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru -де интегралданған болуы үшін, мына эквивалентті шарттардың біреуінің орындалуы қажетті және жеткілікті:

1) Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

2) Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

3) Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

Дәлелдеуі: Алдымен функцияның интегралдану эквиваленттік шартының 1) шартын дәлелдейік.

Қажеттілігі Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болсын. Бұл кез келген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru үшін, мынадай Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru табылып, кез келген үлестірілген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бөлінуі үшін Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шартымен Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru орындалады, яғни Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru (*)

Еркін үлестірілген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бөлінуді Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шартымен қарастырамыз. Ол үшін мынаны аламыз: Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Онда (*) теңсіздігінен Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шығады. Олай болса Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru мәндері ұзындығы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бір Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru кесіндісінде жатады, яғни мына теңсіздік орындалады: Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru .

Егер Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru деп алсақ, онда мынаны аламыз: кез келген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru үшін мынадай Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru саны табылып, әрбір Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бөліну кезінде Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шартымен Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru орындалады, яғни Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru қатынасы орынды. Қажеттілігі дәлелденді.

Жеткіліктілігі. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шегінінің шартынан Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шегінің шығатынын дәлелдеу керек.

Алдымен, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru екеніне көз жеткізейік. Лемма 6-дан кез келген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бөлінуі үшін, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru аламыз. Олай болса, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru кезінде Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru тұрақты сан болғандықтан, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru кезінде Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru дәлелдеу қалды. Еркін түрде оң Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru санын алайық. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шегінің бар болу шартынан мынадай Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru санын табуға болады, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шартымен барлық Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бөліну үшін Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru теңсіздігі орындалады. Бірақ, онда осы бөлінудің кез келген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru белгісі үшін мынаны аламыз:

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru , яғни ұзындығы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru -ден аспайтын, екі Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru нүктелері Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru кесіндісінде жатады. Бұл осы нүктелерінің арасындағы қашықтықта Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru -ден аспайды деген сөз, сондықтан , Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru кез келген үлестірілген бөліну үшін Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болады. Олай болса, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru дәлелденді.

Сонымен, Теорема 1-дің 1) шарты Риман бойынша функцияның интегралдану шартымен эквивалентті. Енді 1,2 және 3 шарттардың эквиваленттілігін дәлелдейік. Ол үшін мына ұйғарымдар тізбелерінің дұрыстығына көз жеткізейік: Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru

а) Егер Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болса, онда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru екенін дәлелдеу керек. Бірақ бұл 1) шарттың жеткіліктілігін дәлелдеу кезінде тағайындалған.

б) Алдымен, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болатынын дәлелдейік. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru саны Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru -ның төменгі жағы ендеше Лемма 6-дан Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru аламыз. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru жиынының нақты төмен жағы екенін дәлелдейік. Ол үшін еркін Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru санын аламыз. Сонда Дарбу қосындысының анықтамасынан мынадай Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бөлінулері табылып, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru ; Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru аламыз. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бөлінуін аламыз. Сонда, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru ; Бұдан Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шығады, яғни Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Олай болса, дәлелденгеннен және 2) шарттан Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru аламыз. Сонымен, б) ұйғарымы дәлелденді.

в) Егер Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болса, онда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болатынын дәлелдеу керек. Кез келген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru үшін , мынадай Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бөліну табылып, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru және Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru өстері бойынша Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бөлінулерінің жұбы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бөлінуге сәйкес Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бөлінулерінің нүктелер санын Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru арқылы белгілейміз. Сонан, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru -да шектелген болғандықтан мынадай Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru табылып, барлық Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru үшін, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Тіктөртбұрыш Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru -ның ең үлкен қабырғасының ұзындығын Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru арқылы белгілейміз. Енді Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru -ді қоямыз. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шартымен кез келген Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бөлінуін аламыз. Сонда Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бөлінуі үшін, Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru болады, өйткені Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бөлінуінің ұсақталуы , яғни Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru шамасын жоғарыдан бағалауға көшеміз. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru мұндағы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru , өйткені Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru . Сонымен бірге Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru , мұндағы

Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru символы қосынды Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru жұбы бойынша жүргізілетінін білдіреді. Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бөліну (немесе Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru ) Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бөлінудің Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru тіктөртбұрышы Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru индекстерімен кішірек тіктөртбұрыштарға жіктеледі. Басқаша айтқанда, мынадай Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru жұбының Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru немесе Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru кесіндісінің ішінде кем дегенде бір Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru немесе Исықсызықты интегралдың қасиеттері - student2.ru бөлінуінің нүктесі жатады.

Наши рекомендации