Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения

В дальнейшем при формулировке и доказательстве теорем операционного исчисления мы всегда будем считать, что все рассматриваемые начальные функции:

1) изображаемы по Лапласу;

2) дифференцируемы необходимое количество раз;

3) все производные изображаемы по Лапласу.

Оригинал будем обозначать малыми буквами, а изображения – соответствующими большими буквами (например, , и т.д.).

Дифференцирование оригинала

Допустим, что оригинал − дифференцируемая функция и его производная также является оригиналом, причем при .

Пусть , . Найдем связь между и . По определению изображения имеем: .

Выберем здесь так, чтобы одновременно выполнялись неравенства

. Выполняя в правой части интегрирование по частям, причем , находим

.

Таким образом, из соотношения следует:

(2.2) .

Предполагая, что оригинал дифференцируем раз и что также является оригиналом, методом индукции из формулы (2.2) получим следующий результат:

Из соотношения следует соотношение

. (2.3)

Пример. Изображение функции можно получить следующим образом: ;

Интегрирование оригинала

Примем без доказательства, что если может служить оригиналом, то оригиналом некоторого изображения будет и функция .

Найдем теперь изображение .

Так как , то полагая , по формуле (2.2) находим связь между и :

,

откуда . Таким образом, из соотношения следует

. (2.4)

Примеры. 1. , следовательно − .

По индукции легко получить:

2.

Дифференцирование изображения

В теории функций комплексного переменного доказывается, что несобственный интеграл

, в котором есть регулярная функция комплексного переменного в замкнутой области и непрерывная функция вещественного переменного при , можно дифференцировать под знаком интеграла: , если интеграл этот сходится равномерно относительно .При этом теорема остается верной и для несобственного интеграла, в котором подынтегральная функция становится неограниченной.

Говоря о свойствах изображения, было установлено, что изображение является регулярной функцией комплексного переменного в полуплоскости и что в этой полуплоскости дифференцирование изображения можно выполнять под знаком интеграла Лапласа. Поэтому из равенства следует, что

. в правой части равенства стоит изображение функции . Таким образом, из соотношения следует, что

(2.5)

Примеры. 1. .

2.

Интегрирование изображения

Пусть функция является изображаемой по Лапласу, т.е. имеет место соотношение:

.

Заменим функцию интегралом :

и изменим в правой части порядок интегрирования:

,

где .

Таким образом, если и функция изображаема по Лапласу, то

. (2.6)

Пример. .