Уравнения Максвелла для заряженных частиц в вакууме в тензорной форме, получение из них уравнений в дифференциальной векторной форме
Уравнения Максвелла для зарядов в вакууме, получаемые путем вариации функционала действия, представляют собой соотношения, связывающие компоненты тензора электромагнитного поля и 4-вектора плотности электрического тока. Тензор электромагнитного поля является кососимметричным тензором второго ранга типа . В лабораторной системе координат , он имеет следующий вид [2]:
(1)
Наборы компонент и тензора составляют 3-векторы электрического и магнитного полей соответственно.
Лабораторные координаты в дальнейшем будем обозначать , . Введем координаты , соответствующие собственному времени:
, , , . (2)
Рассмотрим – тензор электромагнитного поля в координатах :
(3)
Установим соответствие между компонентами тензоров и . Для этого построим матрицы Якоби замены координат на :
, , (4)
и вычислим явно, как преобразуется тензор электромагнитного поля [3]:
,
откуда
.
Первая пара уравнений Максвелла в тензорном виде имеет следующий вид [2]:
(5)
Здесь операция – внешнее дифференцирование кососимметрического тензора
.
Эта операция является тензорной [4], то есть ее координатная запись не зависит от выбора системы координат. Поэтому
.
В силу этого первая пара трехмерных уравнений Максвелла в собственном времени:
,
где , , и обозначают дивергенцию и ротор в координатах , а .
Рассмотрим преобразование 4-вектора плотности электрического тока при переходе (2) из координат в координаты . Пусть в координатах , где – плотность заряда, – 3-плотность электрического тока. Тогда в координатах
. (6)
Вторая пара уравнений Максвелла с помощью тензора электромагнитного поля и 4-вектора плотности тока записывается в следующем виде:
, (7)
где обозначает ковариантное дифференцирование, а
,
где – метрический тензор в координатах ,
.
В координатах
.
Ковариантное дифференцирование является тензорной операцией. Уравнение (7) в произвольных координатах имеет следующий вид:
, (8)
где – символы Кристоффеля.
Рассмотрим второе слагаемое в уравнении (8). Вычислим символы Кристоффеля в координатах [4]:
.
Среди всех комбинаций, возможных в правой части, только , , отличны от нуля. Во второе слагаемое (8) входят только те символы Кристоффеля вида , которые равны нулю. Третье слагаемое представляет собой свертку символов Кристоффеля, симметричных по нижним индексам с тензором, кососимметрическим по тем же индексам, поэтому оно равно нулю. Значит, в координатах уравнение (8) имеет вид:
Отсюда следует вторая пара трехмерных уравнений Максвелла:
,
где .
Таким образом, полная система уравнений Максвелла в собственном времени, то есть в координатах имеет следующий вид:
,