Вопрос 29.1. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью

Рассмотрим уравнение

.

Его общее решение имеет вид , где - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, а - общее решение однородного дифференциального уравнения. Метод нахождения решения рассмотрен в лекции № 28. Для этого нужно найти фундаментальную систему решений. Зная ее можно методом вариации постоянных найти и частное решение линейного неоднородного уравнения. Если правая часть уравнения имеет специальный вид, то частное решение можно найти без использования метода вариации постоянных. Рассмотрим два важных случая.

1-Й СЛУЧАЙ

,

где a ‑ константа, ‑ многочлен n-й степени. Если a не корень характеристического многочлена, то частное решение нужно искать в виде

,

где - многочлен n-й степени с неопределенными коэффициентами. Его коэффициенты определяются после подстановки в уравнение методом неопределенных коэффициентов.

Если a корень характеристического уравнения кратности r, то частное решение нужно искать в виде

.

Рассмотрим случай, когда a = 0. Тогда , поэтому частное решение имеет вид

,

если 0 не корень характеристического уравнения и

,

если 0 корень характеристического уравнения кратности r.

Пример 29.1. Решить уравнение .

Составим характеристическое уравнение , его корни равны , .

В правой части стоит многочлен нулевой степени, поэтому и частное решение будем искать в виде

.

Отсюда , подставляя в уравнение, получим . Тогда и общее решение равно .

Конец примера.

Пример 29.2. Решить уравнение .

Характеристическое уравнение здесь такое же, как и в примере 29.1. В правой части находится многочлен первой степени, поэтому . Следовательно, частное решение уравнения имеет вид

.

Вычислим производные

,

и подставим их в уравнение, тогда получим

,

или

.

Отсюда

,

.

Отсюда , а общее решение есть

.

Конец примера.

Пример 29.3. Решить уравнение .

Составим характеристическое уравнение , его корни равны , .

В правой части стоит многочлен первой степени, умноженный на , поэтому и частное решение будем искать в виде

.

Вычислим производные

Отсюда , подставляя в уравнение, получим

.

После сокращения на , получаем соотношение

.

Отсюда

,

или

,

то есть

,

а общее решение есть

.

Конец примера.

2-Й СЛУЧАЙ

Здесь a и b числа, - многочлены n-й и m-й степени. Если комплексное число a+ib не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищут в виде

,

где N=max(n,m) - максимальное из чисел n,m - многочлены степени N с неопределенными коэффициентами, которые нужно найти, подставляя в уравнение.

Если комплексное число a+ib является корнем характеристического уравнения кратности r (для квадратного уравнения кратность комплексного корня может быть равной только 1), то частное решение нужно искать в виде

.

Рассмотрим случай, когда a = 0. Тогда , поэтомучастное решение имеет вид

,

если ib не корень характеристического уравнения и

,

если ib корень характеристического уравнения кратности r.

Пример 29.4. Решить уравнение .

Корни характеристического уравнения и . Число a+ib = 1+i не является корнем характеристического уравнения, , поэтому частное решение ищем в виде

Вычислим производные

Подставляя в уравнение, получим

Сокращая на и приводя подобные, получим

Приравнивая коэффициенты при cos x и sin x, получим

Отсюда получаем

А общее решение .

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

ПРИМЕР 5. Решить уравнение .

Характеристическое уравнение имеет корни , число есть корень характеристического уравнения кратности r = 1, поэтому частное решение ищем в виде

Вычисляя производные найдем

и подставляя в уравнение, получим

или

Отсюда .

Тогда , а общее решение

.

Конец примера.