Линейные неоднородные ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
Рассм. ДУ
Общее решение такого уравнения:
, где 
ФСР 
- уже рассматривали
Укажем метод нахождения частного решения неоднородного уравнения
, если f(x) имеет специальный вид.
Рассмотрим следующие случаи:
I. 
,где 
- многочлен степени n.
а) 
- не корень характеристического уравнения 
, где 
- многочлен степени n с неопределенными буквенными коэффициентами. Подставим 
в ДУ и сравнив коэффициенты при одинаковых степенях найдём все буквы.
б) - корень характеристического уравнения кратности 1 
в) - корень характеристического уравнения кратности 2
II. . 
,где M,Nчисла
a) 
не корень характеристического уравнения 
неопределенные коэффициенты.Подставив 
в ДУ и приравняв коэффициенты при 
находим А и В
б) корень характеристического уравнения кратности 1 
 |
Замечание : Если в правой части 
есть только 
или 
в частном решении должны быть и sin и cos , т.е тригонометрия должна быть полной.
III. . 
Где 
, 
-многочлены степеней m и n
a) не корень характеристического уравнения 
многочлены степени к с неопределенными коэффициентами
б) корень характеристического уравнения 
Метод вариации
Рассмотрим ДУ: 
Где правая часть f(x) произвольного вида (необязательно специального).
Общее решение соответствующего однородного уравнения:
, где 
и 
- произвольные const, 
- ФСР.
Будем варьировать и и считать, что и зависит от х. Будем искать общее решение неоднородного уравнения (исходного) в виде:
(*)
объединим 
и 
в систему
- эта система для нахождения 
и 
имеет единственное решение, т.к определитель системы 
,
для системы 2-х ЛНЗ надежнее решать систему по формулам Крамера
, где 
, где 
решая систему получим и , проинтегрируем полученные функции по переменной х.
- проинтегрируем по х
, где А и В – константы интегрирования
Таким образом общее решение неоднородного уравнения:
Пример:
1) 
Решение систем линейных ДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами способом подстановки
Рассмотрим систему ДУ
, где a,b,c,d – числа.
- искомая функция 
- функции переменной х
продифференцируем по переменной х первое уравнение системы:
Дифф.(1) 
Подставим из (2) 
подставим из (1) 
перенесем слагаемые с 
и 
налево
получим линейное неоднородное ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Решая это уравнение получим , продифференцируем и найдём 
.
Пример:
1) 
начальные условия: 
РАЗДЕЛ: «Ряды»
Числовые ряды
Определение:Рассмотрим бесконечную числовую последовательность:
числовым рядом называется выражение 
, где 
– общий член ряда.
Пример:
-знакоположительный ряд
-знакочередующийся ряд
Последовательность 
, где 
; 
; 
- последовательность частичных сумм ряда.
Каждая частичная сумма содержит конечное число слагаемых.
Числовой ряд 
называется сходящимся, если существует конечный
, то ряд называется расходящимся и суммы S не имеют.
1)Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии.
, где n – частичная сумма ряда 
- сумма n первых членов геометрической прогрессии.
Рассмотрим 3 случая:
1) 
геометрическая прогрессия убывающая.
сходится и имеет сумму 
2) 
3) 
= не существует – ряд расходится.
Вывод: ряд из членов геометрической прогрессии сходится если 
и расходится 
Элементарные свойства рядов
1) Если 
(1) сходится и имеет сумму S, то 
(2) тоже сходится, и имеет сумму CS, где С-const.
Доказательство:Пусть 
, n– ая частичная сумма 1 ряда.
, n–ая частичная сумма 2 ряда.
Т.к 1 ряд сходится, то 
.
Рассмотрим 
(2) ряд сходится.
Конец доказательства.
2) Если (1) сходится с суммой S1, и (2) сходится с суммой S2.
тоже сходится с суммой 
.
Доказательство:
Обозначим 
- n – частичная сумма 1 ряда.
- n – частичная сумма 2 ряда.
Рассмотрим n-ую частичную сумму ряда
и сумма 
.
Конец доказательства.
3) Любой ряд может быть представлен в виде:
, где 
- n – частичная сумма
- n – остаток ряда.
n – остаток ряда 
тоже является рядом.
Если 
, то и его остаток 
тоже сходится.
Доказательство: доказательство этого факта следует из того, что сумма ряда и сумма его остатка отличаются друг от друга на конечное число cлагаемых.
Конец доказательства.
Следствие: на сходимость ряда не влияет отбрасывание или приписывание в начало ряда конечного числа членов, например: 1+3+9+27+…
Дописывание : 1/9+1/3+1+3+9+27+.. отбрасывание: 1+3+5+7+9+11
4)Если сходится с суммой S 
.
Общий вывод:на практике необязательно выяснять сходимость ряда по определению (вычисляя сумму S). Достаточно просто знать сходится этот ряд или расходится, поэтому, основное место в теории рядов занимают теоремы – признаки сходимости, которые позволяют исследовать ряд на сходимость, не вычисляя его суммы.
Признаки сходимости
Необходимый признак сходимости:
Если сходится, то общий член 
Доказательство: Пусть - n – частичная сумма.
- число.
При 
, 
тоже 
и 
- n-1 – частичная сумма.
Она имеет предел 
.
Т.к 
конец доказательства.
Необходимый признак сходимости неудобен на практике, т.к по поведению общего члена Un на бесконечности нельзя судить о сходимости ряда.
На практике удобно пользоваться достаточным признаком расходимости ряда:
Если 
не стремится к 0 при 
Примеры:
1) 
2) 