Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка»

Пример 1: Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru

Решение: Для данного эллипса Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru и поэтому

Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru

Следовательно, фокусы имеют координаты Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru и Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru , эксцентриситет Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru

Пример 2: Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса

Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru

Решение: Разделив на 36, приведем данное уравнение к виду

Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru

Отсюда следует, что большая полуось эллипса Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru , а малая полуось Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru . При этом ось эллипса и его фокусы расположены на оси Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru . Найдем Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru по формуле

Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru .

Следовательно, координаты фокусов Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru и Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru , а его эксцентриситет

Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru

Пример 3: Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что его большая полуось Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru , а его эксцентриситет Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru . Найти расстояние между фокусами эллипса.

Решение: Воспользуемся формулой, выражающей эксцентриситет через отношение полуосей:

Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru , или Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru , откуда Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru .

В данном случае Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru

Следовательно, каноническое уравнение эллипса

Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru .

Так как Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru , то Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru ; Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru и расстояние между фокусами Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru

Пример 4: Асимптоты гиперболы имеют уравнения Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru , а расстояние между фокусами равно 20. Написать ее каноническое уравнение.

Решение: Разрешим уравнения асимптот относительно Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru и, сравнив с общей формулой асимптот, найдем отношение Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru к Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru :

Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru

Кроме того, Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru , т.е. Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru . Так как для гиперболы Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru , то для нахождения Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru и Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru получим систему уравнений

Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru

решая которую, найдем Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru . Следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru

Пример 5: Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru и симметрична относительно оси Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru . Написать ее уравнение.

 
  Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru

Решение: Так как парабола симметрична относительно оси Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru и проходит через точку Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru с положительной абсциссой, то она имеет вид, представленный на рис.

Подставляя координаты точки Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru в уравнение такой параболы Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru , получим Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru , т.е. Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru .

Следовательно, искомое уравнение

Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru

фокус этой параболы Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru , уравнение директрисы Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка» - student2.ru

Наши рекомендации