Математическая обработка равноточных измерений

При математической обработке равноточных измерений решаются в совокупности следующие три задачи:

1) определение наилучшего значения измеряемой величины в виде простого среднего арифметического значения

L = [1] / n;

2) оценка точности результатов равноточных измерений по формуле Бесселя:

__________

m = Ö[vv] / (n - 1),

где v - уклонения от арифметического среднего;

3) оценка точности среднего арифметического значения по формуле:

М = m / Ön

Для компактного размещения промежуточных вычислений по приведенным формулам применяется табличная форма.

Решение типового примера

Пример 7

Линия теодолитного хода измерена мерной лентой пять раз. Получены следующие результаты: 217,24 м; 217,31 м; 217,38 м; 217,23 м; 217,20 м. Произвести математическую обработку ряда равноточных измерений.

N п/п	l, м	e, см	v, см	v2, см	e 2, см
	217.24	+4	+ 3
		+11	- 4
		+18	+11
		+ 3	+ 4
			+ 7

где 1₀- минимальное значение измеряемой величины, в данном случае 1₀ = 217,20 м

e - остаток, полученный как e = l_i- l₀в сантиметрах.

L = 217,20 + 36 / 5 = 272,272 м или L = 272.27 м

Уклонения V вычисляются по формуле v = L - l. Контроль: [v] = 0. За счет округления величины L контролем служит выражение [v] £ w n, где w - погрешность округления (в нашем случае w = - 0,002 м = - 0,2 см).

Имеем -0,2 × 5 = - 1; следовательно, [v] = - w n.

Контроль вычисления [v²]; [v²] = [e²] - [e]² / n; 211 = 470 - 259.

Вычисление СКП:

_____

m = Ö211 / 4 = 7,3 см

Оценка надежности СКП по формуле:

_______

m_m = m₁ / Ö2 (n - 1), m_m = 7.3 / Ö8 = 2.6 см

Следовательно, в величине m₁, следует оставить только одну значащую цифру, т. е. m₁ = 7 см.

СКП уравненного значения измеряемой величины:

М = m₁ / Ön = 3.3 » 3 см

Контрольная задача 6

Один и тот же угол измерен 5 раз с результатами: 60°41¢; 60°40¢; 60°40¢; 60°42¢; . . .

Произвести математическую обработку этого ряда результатов измерений.

Контрольная задача 7

Произвести математическую обработку результатов измерения планиметром площади одного и того же контура: 26.31; 26.28; 26.32; 26.26; ....... га.

Контрольная задача 8

При исследовании сантиметровых делений нивелирной рейки с помощью женевской линейки определялась температура в момент взятия отсчета. Для пяти сантиметровых отрезков получены значения: 20.3°; 19.9°; 20.1°; 20.2°. . . Провести математическую обработку результатов измерения.

ВЕСА ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ФУНКЦИИ

Определение веса соответствует формуле Р = К / s² ,

тле К - произвольное число; s - стандарт (теоретическое значение СКП). При большом числе измерений m » s, тогда

P = K / m²

Вес есть надежность измерения, выраженная числом. Вес служит для сравнения точности неравноточных измерений.

Решение типовых примеров

Пример 8

Два угла измерены разными наблюдателями с СКП:

m_b1 = 0,3'; m_b2 = 0,5'. Определить веса этих измерений.

По формуле веса:

P₁ = K / 0.09; P₂ = K / 0.25

Для получения весов, удобных для сравнения, анализа и т. д., целесообразно коэффициент К выбрать следующим образом:

К = (m₁)² ·(m₂)² ×100; К = 0,09·0,25·100

Тогда получим:

Р₁ = (0.09×025×100)/0.09 = 25, Р₂ = (0.09 × 0.25 ×100)/0.25= 9

откуда следует, что первый результат является надежнее второго.

Контрольная задача 9

Результатам измерения углов соответствуют m₁ = 0,5­. m₂= 0,7; m₃ = 1,0. Вычислить веса результатов измерений.

Контрольная задача 10

Веса результатов измерений горизонтальных углов равны 0,5; 1,0; 1,5; 2,0 соответственно. Вычислить их СКП, если известно, что СКП единицы веса равна . . . . .

Указание: при решении задачи воспользоваться формулой, связывающей Р, m , и m .

Контрольная задача 11

Найти вес невязки в сумме углов треугольника, если все углы измерены равноточно.

Контрольная задача 12

Чему равен вес среднего арифметического значения угла полученного из . . . . . приемов?

Указание: при решении задачи воспользоваться свойствами весов измерений.

При определении веса функции измеренных величин необходимо усвоить следующую программу:

1) записывается функция в явном виде;

2) определяется СКП этой функции по вышеизложенным правилам;

3) осуществляется переход от СКП к обратному весу в соответствии с формулой:

Р = K / m². При K = 1 получаем обратный вес 1/P = m².

Решение типовых примеров

Пример 9

Вычислить вес дирекционного угла девятой стороны теодолитного хода, если углы хода измерены с m_b = 0.5'. Исходный дирекционный угол считать безошибочным.

Функция в соответствии с условием задачи имеет вид:

a₉ = a_о + 180°·9-Sb _i

СКП такой функции определяется по формуле:

m²_a9 = m²₁ + m²₂ + . . . m²₉ = 9 m²_b

С учетом численного значения m_b получим:

m²_a9 = 9·0,25=2,25'. Обратный вес равен 1 / P = m²_a9, или 1 / P­ = 2,25, откуда Р = 0,45.

Пример 10

Определить вес площади прямоугольного треугольника, если катеты, а =50 м и b = 80 м измерены с весами Р_а= 2, ­Р_b= 3.

Решение:

S = ab / 2; m_S² = (¶S / ¶ a)²m_a² + (¶S / ¶b)² m_b²;

1 / Ps = (¶S / ¶ a)² ×1 / P_a +(¶S / ¶b)² ×1 / P_b ;

1 / Ps = 1 / 4 b² × 1 / P_a + 1 / 4 a² × 1 / P_b; 1 / Ps = 1/4 × 80² × 1/2 +1/4 50² × 1/3 = 1008;

Ps » 0.001

Контрольная задача 13

Определить вес гипотенузы прямоугольного треугольника, вычисленной по измеренным катетам а = 60 м и b = 80 м, если Р_a = 1 м и Р_b = 0,5.

Контрольная задача 14

В треугольнике один угол получен 6 приемами, второй - 18, а третий - вычислен. Найти вес третьего угла, приняв вес измеренного одним приемом угла за единицу.

Контрольная задача 15

Чему равен вес угла, измеренного тремя приемами, если вес угла, измеренного одним приемом, равен 1?

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА

НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИИ

При математической обработке неравноточных измерений­ одной и той же величины решаются последовательно следующие, задачи:

1) определение наиболее надежного результата измерения по принципу весового среднего:

L_B = [ Pl] / [P];

2) оценка точности результата, вес которого - единица. Вычисление СКП единицы веса по формуле Бесселя:

_____________

h = Ö[PVY] / (n - 1);

3) оценка весового среднего значения по формуле:

M_b = m / Ö [P];

Для удобства обработки применяется табличная форма вычислений.

Для определения весов измерений в зависимости от условия задачи применяются следующие выражения:

Р = K / m² ; Р = K / L; Р = K / n ,

где L - длина нивелирного хода; n - число углов поворота в теодолитном ходе или число станций в нивелирном ходе.

Решение типового примера

Пример 11

На репер по четырем ходам геометрического нивелирования различной длины L_i передана высота Н_i.

N ходов	Hi , м	L i , км
	131.172	8.1

N ходов	Hi , м	L i , км
		4.2
		5.3
		6.0

Произвести математическую обработку ряда неравноточных измерений.

В данной задаче неравноточность обусловлена различными длинами нивелирных ходов. Веса вычисляются по формуле P = K / L. Если принять К = 8.1, то СКП еденицы веса будет относиться к первому ходу.

№ ходов	Hi, м	Li, км	Pi=K/Li K=8.1	e i, мм	P i×ei, мм	V i , мм	P i ×V i, мм	P i ×V i 2	P i × e i 2
	134.172	8.1	1.00			+22	+22.0
		4.2	1.93		75.3	- 17	- 32.8
		5.3	1.53		24.5	+ 6	+ 9.2
		6.0	1.35		31.0	- 1	- 1.4
[ ]			5.81		130.8		- 3.0

H₀ = 134.194; w[P] = - 2.9 ;

[ Pe] / [P] = 130.8 / 5.8 = 0.0225 ; [Pe²] - [Pe]² / [P] = 4041- 2944 = 1097.

_ _

H_выч = 134.1945 м; H_окр = 134.194 м ; w = - 0.00050 м = - 0.5 мм

_

Условное значение высоты репера оказалось равно H_окр = 134.19 м.

Контроль вычислений:

1. [pV] = - 3.0, w[p] = - 2.9 ;

2. [pV²] = [pe²] - [Pe]² / [P] = 1097.

СКП еденицы веса, т. е. СКП превышения, полученного по ходу в 8.1 км:

___________ ______

m =Ö [pV²] / (n - 1) ; m = Ö1098 / 3 = 19.1 мм.

______

m_m = m / Ö2 (n - 1); m_m = 19.1 / Ö6 = 7.8 мм.

Следовательно, округленное значение m = 19 мм. СКП превышения, полученного по ходу в 1 км, будет:

__

m _{h кн}= m / Ö К; m _{h кн}= 19.1 / Ö7.8 = 7 мм, что соответствует IV классу геометрического нивелирования. Вес уравненного значения высоты репера равен сумме весов измерений.

P_H = [P] = 5.8 » 6.

СКП уравненного значения высоты репера:

m_H= m / Ö [P] = 19.1 / Ö 5.8 = 8 мм.

Контрольная задача 16

Один и тот же угол трижды измерен различным числом приемов. Произвести математическую обработку результатов измерений:

№ п/п	Значение угла	Количество приемов
	54°12¢18¢¢
		. . .

Контрольная задача 17

По четырем теодолитным ходам на узловую линию передан дирекционный угол. Число углов поворота в каждом ходе различно.

№ п/п	Значение дирекционного угла	Число углов в ходах
	271°33¢.5	.....
	35.2
	30.0
	32.8	.....

Произвести математическую обработку результатов измерений.

Контрольная задача 18

По четырем ходам геометрического нивелирования с различным числом станций была передана высота на узловой репер, что дало результаты:

№ п/п	Значение высоты репера, м	Число станций в ходах
	82.631	......
		.....

Произвести математическую обработку результатов измерений.