Обработка результатов равноточных измерений

Б3.Б.5 Геодезия

Методические указания

к выполнению контрольной работы № 2

для студентов заочного обучения

Для специальности 120700 Землеустройство и кадастры

Уфа 2011

УДК 528

ББК 26.11

М 54

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета землеустройства и лесного хозяйства (протокол № 9 от 30.05. 2011 г.)

Составитель: доцент Ишбулатов М.Г., ст. преп. Яковлева Ю.Н.

Рецензент: доцент, к.т.н. Лемешев А.И.

Ответственный за выпуск: заведующий кафедрой кадастра недвижимости и геодезии Ишбулатов М.Г.

Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru
1 Общие сведения

Если измеряется одна и та же величина несколько раз или измеряются однородные величины при неизменном основном комплексе условий, т.е. одинаковыми по точности инструментами, лицами одинаковой квалификации, одним и тем же методом и при одинаковых внешних условиях, то результаты измерений называются равноточными.Случайные погрешности результатов равноточных измерений в подавляющем большинстве случаев обладают следующими свойствами:

1. Погрешности по абсолютной величине не превосходят некоторого предела.

2. Положительные и отрицательные погрешности, равные по абсолютной величине, встречаются в ряде примерно одинаково часто.

3. Чем больше погрешность по абсолютной величине, тем она, как правило, реже встречается в ряду.

4. Чем больше ряд измерений, тем меньше, вообще говоря, среднее арифметическое значение из погрешностей и при достаточно большом числе п измерений Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru

Если измерения производятся не в одинаковых условиях и им соответствуют различные дисперсии, а следовательно, и средние квадратические погрешности, то измерения называются неравноточными.

Обработка результатов равноточных измерений

Величина σ является теоретической характеристикой, и ее числовая величина не бывает известна. Поэтому практически пользуются ее приближенным значением – средней квадратической погрешностью (ошибкой), величину которой находят по результатам измерений.

Допустим, что произведено п равноточных измерений и при этом получены случайные погрешности Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru . Средней квадратической погрешностью (ошибкой) в этом случае называют величину, определяемую по формуле 2.1.

Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru (2.1)

по закону больших чисел Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru

Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru Такие эмпирические характеристики, т.е., которые сходятся по вероятности к соответствующим теоретическим характеристикам, называют их состоятельными оценками.

Так как средняя квадратическая погрешность т, вычисляемая по формуле 2.1, определяет величину σ с некоторой погрешностью и является величиной случайной, то существует формула 2.2 для оценки точности определения самой погрешности т.

Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru (2.2)

Вывод этой формулы довольно сложен и требует больших сведений из теории вероятностей.

Теоретической характеристикой точности служит также предельная погрешность, которая определяется по формуле 2.3.

Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru(2.3)

где τ – коэффициент, значение которого принимается таким, чтобы вероятность появления погрешности по абсолютной величине, больше предельной, была мала, т.е., чтобы была мала величина Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru . Обычно для τ берут значения: 3;2.5;2. Этим значениям соответствует вероятность α : 0,003; 0,012; 0,046.

Эти соотношения между значениями α и τ практически означают следующее: на каждую тысячу измерений число погрешностей, превосходящих по абсолютной величине предельную Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru в среднем приблизительно равно соответственно 3; 12; 46.

Так как точное значение величины σ неизвестно, то вместо σ в формуле 2.3 берут его приближенное значение т, полученное по результатам большого количества измерений.

Пример 1: угол, точное значение которого Х=34º15´48´´, измерен теодолитом Т-30 шесть раз; полученные результаты приведены в таблице 1. Вычислить среднюю квадратическую и предельную погрешности измерения угла.

Таблица 1 Результаты измерений

№ измерения Результаты измерений Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru
1 34º 15´ 30´´ -18 324
2 15´ 45´´ -3 9
3 16´ +12 144
4 15´ 52´´ +4 16
5 15´ 38´´ -10 100
6 16´ 08´´ +20 400
Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru

Средняя квадратическая и предельная погрешности одного измерения будут определяться по формулам 2.2 и2.3.

Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru

Если известны средние квадратические погрешности каких-либо величин, то можно по ним определить среднюю квадратическую погрешность любой функции этих величин.

Вид функции Формулы оценки точности

Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru

Пример 2: При определении расстояния по дальномеру пользуются формулой 2.6

Считая, что k = 100 и с – безошибочны, а l определено со средней квадратической погрешностью Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru , найти средную квадратическую погрешность расстояния Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru . По формуле 2.6 найдем Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru . Подставив значения k и Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru получим

Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru

Пример 3: Стороны прямоугольника а и в измерены с точностью, характеризуемой величинами Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru и Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru . Найти среднюю квадратическую погрешность площади прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru .

Для оценки точности этой площади применим формулу 2.4, которая для данного случая будет иметь вид Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru Подставив в эту формулу значения частных производных Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru получим Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru .

Наиболее надежным – вероятнейшим значением измеренной величины, полученных по результатам ряда равноточных измерений Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru , является среднее арифметическое значение, которое определяется по формуле 2.8.

Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru = Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru (2.8)

Среднее арифметическое значение называют также арифметической срединой. Для упрощения вычисления арифметической срединой обычно вводят приближенное значение измеряемой величины Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru . Выбрав приближенное значение, вычисляют остатки Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru . Подставив это выражение в формулу 2.8 получим формулу 2.9 значения средней арифметической.

Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru (2.9)

Средняя квадратическая погрешность арифметической средины М в Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru раз меньше средней квадратической погрешности одного измерения т и рассчитывается по формуле 2.10.

Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru (2.10)

Пример 3: Из опыта установлено, что средняя квадратическая погрешность угла, измеренного одним приемом теодолитом Т-30, равна Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru Чему равна средняя квадратическая погрешность среднего арифметического из четырех приемов?

Из формулы 2.10 найдем М.

Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru

Средняя квадратическая погрешность т, вычисляется по
формуле 2.11

Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru (2.11)

Средняя квадратическая погрешность арифметической средины находится по формуле 2.12

Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru (2.12)

Средняя квадратическая погрешность одного измерения . определяемая по разностям двойных равноточных измерений определяется по формуле 2.13.

Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru (2.13),

в том случае, когда исключена из разностей систематическая погрешность Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru , то средняя квадратическая погрешность определять по формуле арифметической средины 2.14.

Обработка результатов равноточных измерений - student2.ru (2.14)

Наши рекомендации