Определение длины отрезка по его проекциям

Отрезки прямых уровня(фронтали и горизонтали) – проецируются в натуральную величину соответственно на фронтальную и горизонтальную плоскости проекции.

Отрезки проецирующих прямых (перпендикулярных плоскости) проецируются на две плоскости проекций в истинную величину. Во всех остальных случаях отрезки прямых проецируются с искажением.

Для того чтобы определить натуральную величину отрезка прямой по его ортогональному чертежу рассмотрим пространственную модель отрезка АВ, спроецированного на плоскости проекций П1 и П2.

Проведём отрезок АС || А1В1 и рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Отрезок АВ является его гипотенузой, а катетами - отрезки АС, равный по длине отрезку А1В1, и ВС, длина которого равна разности расстояний от концов отрезка АВ до П1.

На ортогональном чертеже проекции точки определяют ее координаты Х, Y, Z. Длина отрезка АВ вычисляется по формуле: |AB| = корень ((XB-XA)2+(YB-YA)2+(ZB-ZA)2) = корень ((XB-XA)2+(YB-YA)2+(B2C2)2) = корень((A1B1)2+(B1B0)2).

Графически на чертеже эту задачу решают по схеме:

Обозначить вторую проекцию С2 точки С;

Определить длину отрезка В2С2, как разность глубин точек А и В относительно П1.

На плоскости П1 из точки В1 провести прямую отрезку А1В1 и на этой прямой отложить отрезок В1B0, равный В2С2. Получится прямоугольный треугольник А1В1B0.

Гипотенуза А1B0 прямоугольного треугольника А1В1B0 равна натуральной величине отрезка АВ, а угол a - угол наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций.

Следы прямой

Следом прямой называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций. Горизонтальный след –точка пересечения с горизонтальной плоскостью проекций П₁. Фронтальный след – точка пересечения с фронтальной плоскостью проекций П₂. Профильный след – точка пересечения с профильной плоскостью проекций П₃.

Для построения следов прямой общего положения на комплексном чертеже необходимо продлить проекции прямой до пересечения с осями координат. На рис.3.2 показано построение горизонтального и фронтального следов прямой n. Для этого продлевались горизонтальная проекция n₁ и фронтальная проекция n₂ до пересечения с осью x₁₂.

Рис.3.2. Построение следов прямой общего положения:

М – горизонтальный след; N – фронтальный след

Какие взаимные положения возможны между прямой и плоскостью?

Ответ:

В пространстве прямая может либо принадлежать плоскости, либо не принадлежать плоскости. Это утверждение справедливо и для точки. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит:

Через две точки, принадлежащие плоскости;

Через точку плоскости параллельно любой прямой этой плоскости.

Сформулируем условие принадлежности прямой плоскости как аксиомы:

Аксиома 1. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости.

Аксиома 2. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости.

Определение: прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей данной плоскости.

Такжепрямая может пересекаться с плоскостью.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали плоскости.