Определение длины отрезка прямой линии и углов наклона ее к плоскостям проекций

ЛЕКЦИЯ 2

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

Для построения изображения прямой линии на плоскостях проекций достаточно построить проекции двух точек этой прямой (рис.1).

Рис.1

a([ВВ₂] || [АА₂]) ∩ =a₂

([АА₁] || [ВВ₁]) ∩ = a₁

а–прямая в пространстве, a₁ – горизонтальная проекция прямой, а₂ – фронтальная проекция прямой.

Проекция прямой линии есть также прямая линия.

Точка, лежащая на прямой линии, имеет свои проекции на соответствующих проекциях прямой. C₁ [А₁В₁]; C₂ [А₂В₂].

В каком отношении точка делит отрезок прямой линии в пространстве, в таком же отношении проекции этой точки делят соответствующие проекции отрезка.

.

Совмещая плоскости проекций и строим эпюр отрезка [АВ]. Так как в дальнейшем будут рассматриваться только безосные эпюры, определим разницу между эпюром с осями и безосным эпюром.

По эпюру с осями можно определить положение точек А и В в пространстве по координатам X, Y, Z. Безосный эпюр точек А и В не определяет их положение в пространстве, но позволяет судить об их относительности ориентировке (рис.2).

∆Х характеризует смещение точки А по отношению к точке В в направлении параллельном и . Относительное смещение точки в направлении перпендикулярном плоскости определяется отрезком ∆У; отрезок ∆Z показывает превышение точки В над точкой А.

Эпюр с осями	Безосный эпюр
Рис.2.

Положение прямой относительно плоскостей проекций.

1. Прямыми общего положения называются прямые, не параллельные ни одной из плоскостей проекций (рис.1, 2, 3).

Рис. 3

2. Прямые уровня - прямые, параллельные плоскостям проекций.

а) Прямые, параллельные горизонтальной плоскости проекций, называются горизонтальными прямыми или горизонталями (рис.4)

Рис.4.

[АВ] b

[А₁В₁] b₁

[А₂В₂] b₂

b₂ ┴ линии связи;

b₂ ║ ОХ

b₁ – конгруэнтна самой прямой

б) Прямая, параллельная , называется фронтальной прямой или фронталью (рис.5).

Рис. 5

[CD] c

[C₁D₁] c₁

[C₂D₂] c₂

c₁┴ линии связи

c₁║ ОХ

c₂ конгруэнтна самой прямой

в) Прямая, параллельная называется профильной прямой (рис.6). d₂ OX, d₁ OX, d₃- конгруэнтна самой прямой.

Рис.6.

[MN] d

[M₁N₁] d₁

[M₂N₂] d₂

3. Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими.

Прямая, перпендикулярная , называется горизонтально-проецирующей прямой. Одна из проекций превращается в точку, а другая совпадает с линией проекционной связи и конгруэнтна самой прямой (рис.7). n , [АВ] n; [А₂В₂] n₂; А₁ В₁ n_1.

Рис. 7

Прямая, перпендикулярная , называется фронтально-проецирующей прямой (рис.8). m , [CD] m; [C₁D₁] m₁; C₂ D₂ m₂; m₁ конгруэнтна m.

Рис. 8

Прямая, перпендикулярная , называется профильно-проецирующей прямой (рис.9). ℓ , [MN] ℓ; [M₁N₁] ℓ ₁; [M₂N₂] ℓ ₂ ; [M₁N₁]=[M₂N₂]=[MN].

Рис. 9

Прямая, параллельная плоскости симметрии (рис.10).

Прямая, параллельная плоскости тождества (рис.11).

Рис. 10	Рис.11

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ЛИНИИ И УГЛОВ НАКЛОНА ЕЕ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ

Величина отрезка прямой линии в пространстве выражается гипотенузой прямоугольного треугольника, один катет которого равен проекции отрезка на плоскость, а другой разности удалений концов отрезка от той же плоскости проекций (рис.12).

	АВ0 ║ А1В1 Δ АВВ0 – прямоугольный АВ - истинная величина отрезка АВ0 = А1В1 ВВ0 = ZВ – ZА= ΔZ ВВ1 = ZВ; В0В1 = АА1 = ZА <φ – угол наклона прямой к плоскости проекций <Ψ - угол наклона прямой к плоскости проекций
Рис.2.12

Истинная величина отрезка [АВ] определяется гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого один катет [АВ₀]=[А₁В₁], а второй ∆Z = Z_В - Z_А. Угол φ определяется между отрезком [АВ] и горизонтальной проекцией [А₁В₁]= [АВ₀].

Истинная величина отрезка определяется как гипотенуза прямоугольного треугольника, у которого один катет [АВ₀]=[А₁В₁], а второй ∆Y = Y_В - Y_А. Угол Ψ определяется между отрезком [АВ] и фронтальной проекцией [А₂В₂]= [АВ₀].

Рассмотрим пример определения истинной величины отрезка [АВ] на эпюре (рис.13).

Рис. 13