Перетин лінії другого порядку з прямою

Позначимо ліву частину загального рівняння лінії другого порядку через 2F (x,y):

(1)
Розглянемо пряму, що задана точкою M₀(x₀,y₀) та направляючим вектором (мал.5). Нехай M(x,y) – точка, що належить даній прямій, тоді: Або в координатах:

(2)

Рівняння прямої такого виду називаються параметричним рівнянням прямої. Кутовий коефіцієнт прямої (2) буде рівним:

Для визначення координат точок перетину лінії другого порядку з прямою розв’яжемо систему рівнянь (1) та (2). Підставляючи з рівняння (2) значення x та y в рівняння (1), приходимо до рівняння виду: (3)
де ( )
( )
( )

Вирази в дужках: - це половини часткових похідних від лівої частини рівняння (1), що розраховані при x=x₀ та y=y₀. (Частковою похідною від функції з двома змінними називається похідна, обчислена по одній зі змінних, якщо враховувати при цьому другу змінну постійною величиною).

Дослідження питання про перетин прямої лінії з лінією другого порядку зводиться тепер до дослідження рівняння (3). Підлягають розгляду вісім можливих випадків.

I.

Розв’язуючи квадратичне рівняння (3), маємо:

а) Якщо дійсні, то пряма (2) перетинає лінію (1) в двох дійсних різних точках, координати яких обчислюються з рівняння (2) підстановкою значень t₁, t₂ (мал.6а).

б) Якщо t₁=t₂, то пряма (2) має з лінією (1) одну спільну точку (дві, що злилися) та буде, значить, дотичною до цієї лінії (мал. 6б) .

в) Якщо t₁ та t₂ комплексні, то пряма (1) та лінія (2) не мають спільних точок (мал.6в).

II.

В цьому випадку рівняння (3) має вид: 2Qt+R=0 і буде мати лише один розв’язок

який означає те, що пряма (2) перетинатиме лінію (1) в одній точці.

Для того, щоб з’ясувати положення другої точки, ми перетворимо рівняння (3), вводячи заміну до виду ( )
і будемо змінювати напрям прямої таким чином, щоб зі зміною Точки перетину прямої (2) та лінії (1) будуть змінювати своє положення.

В граничному вигляді, коли Р=0, рівняння ( ) набере вигляду:

Коренями цього рівняння будуть:

відповідно значення t будуть:

Таким чином, друга точка перетину, переміщуючись по кривій, в розгляданому вище процесі попрямувала в нескінченність.

Пряму лінію, яка перетинає лінію другого порядку в нескінченності, називають прямою асимптотичного напрямку (мал.7).

Значення кутового коефіцієнту прямої асимптотичного напрямку, який проходить через точку М₀, знаходиться за умовою, що Р=0, тобто

Поділивши на m² та замінивши , отримаємо:

(5)

Дискримінант цього квадратного рівняння буде рівним:

а) Якщо І₂<0, то рівняння (5) матиме 2 дійсних корені k₁ та k₂ а це означає, що через точку М₀ будуть проходити дві прямі асимптотичного напряму, а сама лінія матиме дві нескінченно віддалені точки.

Вище ми побачили, що при І₂<0 лінія (1) буде гіперболою чи парою прямих, що перетинаються. (Лінії гіперболічного типу).

б) Якщо І₂=0, то рівняння (5) матиме кратні корені k₁=k₂, це означає, що через точку М₀ проходить одна пряма асимптотичного напрямку, а лінія (1) має одну нескінченно віддалену точку.

При І₂=0 лінія (1) буде параболою чи парою паралельних (різних, співпадаючих чи уявних прямих. (Лінії параболічного типу).

в) Якщо І₂>0, то корені k₁ та k₂ рівняння (5) будуть комплексними, а ,значить, прямих асимптотичного напрямку немає, у лінії не має нескінченно віддалених точок.

При І₂>0 лінія (1) буде еліпсом (дійсним чи уявним), або точкою. (Лінії еліптичного типу).

III.

У цьому випадку рівняння (3) має вигляд:

В цьому випадку з рівнянь (2) маємо:

Звідки:

Так як t₁+t₂=0.

Таким чином точка М₀ являтиметься серединою хорди М₁М₂ (М₁ та М₂ – точки перетину прямої (2) з лінією (1)), (мал.8).

Задача

Визначити кутовий коефіцієнт хорди лінії другого порядку, яка проходить через точку М₀ і ділиться в ній наполовину.

Розв’язання. Координати кінців хорди М₁ та М₂ обчислюються з рівнянь (2) при деяких значеннях t₁ та t₂ , тобто:

Склавши та поділивши на 2, отримуємо:

Для того, щоб точка М₀ була серединою хорди, необхідно, щоб

тобто, щоб t₁+t₂=0, так як m та n одночасно не можуть дорівнювати нулю.

За теоремою Вієта, t₁+t₂= - 2Q.

Значить, Q=0 або

Звідки маємо