Загальне рівняння кривої другого порядку

Рівняння

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ,

де Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru є загальним рівнянням кривої другого порядку на координатній площині Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Очевидно, що отримані канонічні рівняння еліпса, гіперболи і параболи , , є частинними випадками рівняння . Але виникає питання, чи визначає це рівняння ще якісь лінії на координатній площині. Відповідь на нього дає наступна теорема.

Теорема. Для кожного рівняння існує система координат Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru , в який воно набуває наступного вигляду:

1) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ‑ коло;

2) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ‑ еліпс;

3) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ‑ порожня множина точок (уявний еліпс);

4) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ‑ точка Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ;

5) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ‑ гіпербола;

6) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ‑дві прямі що перетинаються Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ;

7) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru , Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ‑парабола;

8) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru або Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ‑ дві паралельні прямі;

9) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru або Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ‑ порожня множина точок;

10) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru або Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ‑ вісь Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru або Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Рівняння п.п.1-10 називаються канонічними виглядами рівняння . Способи побудови системи координат Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru , в який рівняння набуває канонічного вигляду, покажемо на наступних прикладах.

Привести до канонічного вигляду рівняння кривої другого порядку:

1) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Згрупуємо члени з Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru та з Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru та виділимо повні квадрати:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Застосуємо формули паралельного переносу:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ,

де Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru -центр нової системи координат.

У нашому впадку Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru , тому набудуть вигляду:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Підставимо Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru в отримане рівняння, тоді в системі Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru отримаємо коло з радіусом Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru :

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

2) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Якщо в Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru , то спершу слід застосувати формули повороту координатних осей

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

щоб при належному виборі кута Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru звільнитися від члена з добутком координат.

Підставляючи Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru та Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru в задане рівняння, отримаємо:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Далі розкриємо дужки та приведемо подібні доданки:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Виберемо кут повороту Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru так, щоб коефіцієт при Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru в обернувся в нуль:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Обидві частини рівняння поділимо на Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru . Слід зазначити, що Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru , оскільки якщо це не так, то з рівняння випливає, що і Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru . А це суперечить основній тригонометричній тотожності Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Після ділення отримаємо:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

тобто Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Домовимось завжди брати для Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru з двох можливих значень додатне, а кут повороту Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru в першій чверті. Таким чином, з двох можливих значень обираємо Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Оскільки Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru , а кут повороту знаходиться в першій чверті, то за відомим значенням Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru функції Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru та Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru можуть бути визначено наступним чином:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

В нашому випадку: Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

При цих значеннях рівняння набуває вигляду:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Згрупувавши члени з Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru та Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru і виділивши повні квадрати, маємо:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Виконавши паралельне перенесення системи координат в т. Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru за формулами , отримаємо:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Останнє рівняння є рівнянням еліпса (Рис. 44.1).

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Рис. 44.1

3) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Виділимо відносно Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru повний квадрат:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

або в центрі Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ‑ уявний еліпс.

4) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Здійснивши аналогічні попереднім перетворення, отримаємо

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ‑ точка Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru в системі Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ‑ точка Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru в системі Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

5) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Так як Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru , то спершу застосуємо формули повороту координатних осей , щоб при належному виборі кута Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru звільнитися від члена з добутком координат.

Після підстановки Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru та Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru в задане рівняння, отримаємо:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Далі розкриємо дужки та приведемо подібні доданки:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Виберемо кут повороту Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru так, щоб коефіцієт при Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru в обернувся в нуль:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Обидві частини рівняння поділимо на Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru , Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru . Після ділення отримаємо:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

тобто Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Домовимось завжди брати для Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru з двох можливих значень додатне, а кут повороту Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru в першій чверті. Таким чином, з двох можливих значень обираємо Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Оскільки Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru , а кут повороту знаходиться в першій чверті, то за формулами

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

При цих значеннях рівняння набуває вигляду:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Згрупувавши члени з Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru та Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru і виділивши повні квадрати, маємо:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Виконавши паралельне перенесення системи координат в т. Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru за формулами , отримаємо:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ,

отже, рівняння набуде вигляду:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Отримане рівняння є канонічним рівнянням гіперболи (Рис. 44.2).

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Рис. 44.2

6) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Згрупуємо доданки відносно Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru та Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru і виділимо повні квадрати:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Центр нової системи координат перенесемо в точку Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru . В новій системі координат Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru маємо рівняння

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ,

що визначає дві прямі Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

7) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Застосуємо формули повороту координатних осей , щоб при належному виборі кута Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru звільнитися від члена з добутком координат та підставимо Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru та Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru в задане рівняння:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

або

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Прирівнюючи до нуля коефіцієнт при добутку Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru отримаємо:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ,

звідки

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ,

тобто

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Візьмемо Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru , звідки Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru . Тоді

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

При цих значеннях рівняння набуває вигляду:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Згрупувавши члени з Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru та Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru і виділивши повні квадрати, маємо:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ;

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Виконавши паралельне перенесення системи координат в т. Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru за формулами , маємо:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Відносно нової системи з центром в точці Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru отримали канонічне рівняння параболи, симетричної відносно осі Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru (Рис. 44.3):

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru

Рис. 44.3

8) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Виділимо повний квадрат:

Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru або Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru , тобто Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

В результаті отримали дві паралельні прямі: Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru та Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

9) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Виділяючи повний квадрат, одержимо Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru . Ца рівняння не має дійсних розв’язків, тому визначає порожню множину точок.

10) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru , звідки Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru . Це рівняння визначає вісь Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Задачі для самостійної роботи

Привести до канонічного вигляду рівняння кривих другого порядку:

1) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ;

2) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ;

3) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ;

4) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ;

5) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ;

6) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ;

7) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ;

8) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ;

9) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru ;

10) Загальне рівняння кривої другого порядку - student2.ru .

Наши рекомендации