Примеры вычисления преобразования Фурье

Найдем преобразование Фурье для функции Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru , где m– натуральное число, а Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru – невещественная постоянная. Пусть, например, Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru .

Интеграл Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru абсолютно сходится при Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru , но при Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru он существует как условно сходящийся в смысле Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru . При любом Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru этот интеграл удобно вычислять методом контурного интегрирования. При этом используется

Лемма Жордана. Пусть функция Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru голоморфна в полуплоскости Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru всюду, за исключением изолированного множества особых точек, и Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru на полуокружности Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru стремится к нулю при Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru (или по последовательности Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru такой, что Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru не содержит особых точек Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru ). Тогда для любого Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru интеграл

Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru

стремится к нулю при Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru (или по соответствующей последовательности Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru ).

Доказательство леммы Жордана. Обозначим через Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru – правую половину Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru . В силу выпуклости синусоиды при Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru имеем Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru и, значит, на Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru справедлива

оценка Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru . Поэтому Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru

при Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru .

Оценка для Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru проводится аналогично: Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru .

Лемма Жордана доказана.

Для Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru рассмотрим контур Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru так, чтобы выполнялась лемма Жордана для функции Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru при Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru . Внутри контура при достаточно большом значении N находится точка Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru – полюс подынтегральной функции. По теореме о вычетах

Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru .

Указанный вычет легко сосчитать, если разложить функцию Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru в ряд Тейлора по степеням Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru :

Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru .

Вычет есть коэффициент при Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru ; следовательно, для Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru

Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru .

Устремляя Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru , получаем для Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru

Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru

Для Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru надо рассмотреть полуокружность Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru в нижней полуплоскости. Здесь по теореме Коши об интеграле по замкнутому контуру от голоморфной функции, получим Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru .

Итак, при Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru имеем

Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru

Для случая Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru аналогично можно найти

Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru

В обоих случаях функция Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru экспоненциально убывает при Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru .

Любая дробно-рациональная функция, не имеющая особенностей на вещественной оси и стремящаяся к нулю на бесконечности, разлагается на простейшие дроби вида Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru , где Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru . Поэтому полученные формулы позволяют написать преобразование Фурье от любой дробно-рациональной функции, при этом сохранится экспоненциальное убывание при Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru .

Рассмотрим второй пример. Найдем преобразование Фурье от функции

Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru , Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru .

Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru – интеграл от аналитической функции Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru по вещественной оси, z=x+iy. Так как

Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru , то в любой горизонтальной полосе Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru подынтегральная функция при Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru стремится к нулю равномерно по y. Поэтому, используя теорему Коши, можно при интегрировании перейти на любую параллельную прямую в z –плоскости, не изменяя результата:

Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru

= Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru

Положим Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru , тогда Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru и по известной формуле

Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru . (Известная формула – интеграл вероятности Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru ).

В частности, для Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru , Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru , получаем Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru – функцию того же вида, отличающуюся от исходной функции только множителем Примеры вычисления преобразования Фурье - student2.ru .

Наши рекомендации