Примеры вычисления преобразования Фурье
Найдем преобразование Фурье для функции , где m– натуральное число, а – невещественная постоянная. Пусть, например, .
Интеграл абсолютно сходится при , но при он существует как условно сходящийся в смысле . При любом этот интеграл удобно вычислять методом контурного интегрирования. При этом используется
Лемма Жордана. Пусть функция голоморфна в полуплоскости всюду, за исключением изолированного множества особых точек, и на полуокружности стремится к нулю при (или по последовательности такой, что не содержит особых точек ). Тогда для любого интеграл
стремится к нулю при (или по соответствующей последовательности ).
Доказательство леммы Жордана. Обозначим через – правую половину . В силу выпуклости синусоиды при имеем и, значит, на справедлива
оценка . Поэтому
при .
Оценка для проводится аналогично: .
Лемма Жордана доказана.
Для рассмотрим контур так, чтобы выполнялась лемма Жордана для функции при . Внутри контура при достаточно большом значении N находится точка – полюс подынтегральной функции. По теореме о вычетах
.
Указанный вычет легко сосчитать, если разложить функцию в ряд Тейлора по степеням :
.
Вычет есть коэффициент при ; следовательно, для
.
Устремляя , получаем для
Для надо рассмотреть полуокружность в нижней полуплоскости. Здесь по теореме Коши об интеграле по замкнутому контуру от голоморфной функции, получим .
Итак, при имеем
Для случая аналогично можно найти
В обоих случаях функция экспоненциально убывает при .
Любая дробно-рациональная функция, не имеющая особенностей на вещественной оси и стремящаяся к нулю на бесконечности, разлагается на простейшие дроби вида , где . Поэтому полученные формулы позволяют написать преобразование Фурье от любой дробно-рациональной функции, при этом сохранится экспоненциальное убывание при .
Рассмотрим второй пример. Найдем преобразование Фурье от функции
, .
– интеграл от аналитической функции по вещественной оси, z=x+iy. Так как
, то в любой горизонтальной полосе подынтегральная функция при стремится к нулю равномерно по y. Поэтому, используя теорему Коши, можно при интегрировании перейти на любую параллельную прямую в z –плоскости, не изменяя результата:
=
Положим , тогда и по известной формуле
. (Известная формула – интеграл вероятности ).
В частности, для , , получаем – функцию того же вида, отличающуюся от исходной функции только множителем .