Связь между убыванием функции при и гладкостью её преобразования Фурье

Знаем, что преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции есть ограниченная непрерывная функция , стремящаяся к нулю при . Предположим теперь, что не только , но и . Тогда можно утверждать, что функция дифференцируема. Действительно, формальное дифференцирование по параметру интеграла Фурье приводит к интегралу , который является абсолютно сходящимся и равномерно сходящимся по параметру . В силу теоремы о дифференцировании интеграла Лебега по параметру функция дифференцируема и производная равна , то есть

.

Производная – преобразование Фурье интегрируемой функции, поэтому снова непрерывна, ограничена и стремится к нулю при .

Если вместе с функцией абсолютно интегрируемыми на оси являются также функции , ,…, , то процесс дифференцирования можно продолжить. Мы получим, что функция имеет производные до порядка m, непрерывные, ограниченные и стремящиеся к нулю при . При этом имеет место формула ,

Для произвольного многочлена степени .

Видим, что чем более сильные условия убывания на бесконечности наложены на функцию , тем более гладкой получается функция .

В связи с изложенным можно указать важный класс функций, который при преобразовании Фурье переходит в самого себя, только с заменой аргумента на . Рассмотрим совокупность бесконечно дифференцируемых функций , которые для всех удовлетворяют неравенствам ,где ‑ постоянная, зависящая от выбора функции . Через обозначим класс таких же функций аргумента .

Заметим прежде всего, что при любых целых неотрицательных k и q произведение , так как .

Пусть . По доказанному , причём . Функция и все её последовательные производные интегрируемы, поскольку линейно выражаются через интегрируемые функции . Поэтому функции ограничены при всех и как преобразования Фурье интегрируемых функций (в последнем равенстве использованы два свойства преобразования Фурье: и ).

Итак, если принадлежит , то . Обратно, пусть . Построим функцию . Функция есть, очевидно, преобразование Фурье функции и поэтому входит в . Но тогда, очевидно, и . По формуле обращения (функции из удовлетворяют условию Дини в каждой точке).

Итак, каждая функция есть преобразование Фурье функции (причём ).

Таким образом, при преобразовании Фурье класс отображается на весь класс . Символически этот факт можно записать равенством .