Интегральные преобразования фурье

Одиночный импульсu(t) также можно выразить рядом Фурье, мысленно представив его периодически повторяющимся с периодом T, большим или равным длительности импульса. Однако это будет верно лишь в интервале существования импульса u(t). В остальные моменты времени, когда заданный интегральные преобразования фурье - student2.ru ряд, очевидно, будет периодически повторять u(t). Если необходимо получить аналитическое выражение импульсного непериодического колебания, верное в любой момент времени, следует использовать формы интегральных преобразований Фурье, которые можно вывести посредством предельного перехода при интегральные преобразования фурье - student2.ru

Пусть задан импульс u(t) (рис.2.а). Сформируем периодическую последовательность f(t) таких импульсов (рис.2.б) с большим периодом Т. Тогда можно записать:

интегральные преобразования фурье - student2.ru

Для f(t) верно разложение в ряд Фурье (19) с коэффициентам, определяемыми по формуле (20). Интегрирование в (20) производится в пределах отрезка интегральные преобразования фурье - student2.ru , интегральные преобразования фурье - student2.ru где f(t) совпадает с u(t). Поэтому величина интегральные преобразования фурье - student2.ru интегральные преобразования фурье - student2.ru не изменится, если заменить f(t) на u(t) и интегрировать в бесконечных пределах:

интегральные преобразования фурье - student2.ru

Здесь величина

интегральные преобразования фурье - student2.ru

при произвольной частоте интегральные преобразования фурье - student2.ru определяет спектральную плотность, спектральную функциюили спектральную характеристику импульса u(t).

Спектральная плотность не зависит от времени и является комплексной функцией частоты интегральные преобразования фурье - student2.ru , существующей при положительных и при отрицательных значениях последней, причем, подобно (17), интегральные преобразования фурье - student2.ru интегральные преобразования фурье - student2.ru . Спектральная плотность однозначно определяется формой (аналитическим выражением) импульса u(t).

Формула (23) выражает прямое интегральное преобразование Фурье, которое символически можно записать так: интегральные преобразования фурье - student2.ru интегральные преобразования фурье - student2.ru .

Оно существует, если функция u(t)на любом отрезке конечной длины удовлетворяет условиям Дирихле и, кроме того, абсолютно интегрируема на бесконечном интервале, т. е.

интегральные преобразования фурье - student2.ru

Последнее всегда выполняется, если u(t) имеет конечную энергию, т. е. описывается функцией с интегрируемым квадратом.

Из (22) следует, что для вычисления комплексной амплитуды любой гармоники периодической последовательности импульсов достаточно вычислить спектральную плотность интегральные преобразования фурье - student2.ru интегральные преобразования фурье - student2.ru импульса u(t) интегральные преобразования фурье - student2.ru образующего эту последовательность, взять значение функции интегральные преобразования фурье - student2.ru интегральные преобразования фурье - student2.ru на частоте искомой гармоники интегральные преобразования фурье - student2.ru интегральные преобразования фурье - student2.ru и умножить на 2/Т интегральные преобразования фурье - student2.ru . Поэтому, учитывая, что интегральные преобразования фурье - student2.ru интегральные преобразования фурье - student2.ru , представим ряд (19) в форме:

интегральные преобразования фурье - student2.ru

Оценим, как изменится это равенство, если период интегральные преобразования фурье - student2.ru сформированной последовательности интегральные преобразования фурье - student2.ru беспредельно увеличивать. Тогда все импульсы кроме, исходного интегральные преобразования фурье - student2.ru "отодвинутся" в бесконечность, и при конечных значениях tостанется только им пульс интегральные преобразования фурье - student2.ru . Таким образом,

интегральные преобразования фурье - student2.ru

При интегральные преобразования фурье - student2.ru интегральные преобразования фурье - student2.ru величина интегральные преобразования фурье - student2.ru интегральные преобразования фурье - student2.ru определяющая основную частоту и расстояние между частотами соседних гармоник, стремится к чрезвычайно малой интегральные преобразования фурье - student2.ru

интегральные преобразования фурье - student2.ru , а сумма в пределе превращается в интеграл:

интегральные преобразования фурье - student2.ru

Эта формула позволяет осуществить обратное интегральное преобразование Фурье, т. е. вычислить значение импульса интегральные преобразования фурье - student2.ru в любой момент времени, если известна его спектральная плотность. Пользуясь тем, что величины спектральной плотности при положительных и отрицательных значениях частоты комплексно сопряжены, выражение (24) можно записать в другой форме:

интегральные преобразования фурье - student2.ru

Где Re интегральные преобразования фурье - student2.ru знак, значащий взятие действительной части.

Поэтому, представляя спектральную плотность в алгебраической форме

интегральные преобразования фурье - student2.ru интегральные преобразования фурье - student2.ru

импульс интегральные преобразования фурье - student2.ru , заданный только для интегральные преобразования фурье - student2.ru , т.е. интегральные преобразования фурье - student2.ru при интегральные преобразования фурье - student2.ru , можно определить через действительную интегральные преобразования фурье - student2.ru или мнимую интегральные преобразования фурье - student2.ru составляющие.

интегральные преобразования фурье - student2.ru

Из рассмотренного следует, что интеграл Фурье (25) представляет непериодический импульс интегральные преобразования фурье - student2.ru в виде бесконечной сумой гармонических составляющих с бесконечно малых амплитудами

интегральные преобразования фурье - student2.ru

и частотами интегральные преобразования фурье - student2.ru , принимающими все значения от 0 до интегральные преобразования фурье - student2.ru . Следовательно, непериодический импульс имеет непрерывный(сплошной) спектр. Причина этого — отсутствие однородности между интегральные преобразования фурье - student2.ru и составляющими.

Преобразуя равенство Парсеваля (21) с учетом (22) и предельного перехода при интегральные преобразования фурье - student2.ru от интегральные преобразования фурье - student2.ru к интегральные преобразования фурье - student2.ru , получим формулу Релея:

интегральные преобразования фурье - student2.ru

Итак, полная энергия непериодического колебания U(t) может быть вычислена по амплитудной спектральной характеристике интегральные преобразования фурье - student2.ru

Ширина спектра интегральные преобразования фурье - student2.ru является важным параметром колебания, необходимым при проектировании устройств передачи и обработки колебаний. На практике интегральные преобразования фурье - student2.ru (размерность - герцы) определяется границей диапазона частот, в котором сосредоточена подавляющая часть (например, 90 %) энергии интегральные преобразования фурье - student2.ru , т. е.

интегральные преобразования фурье - student2.ru

При осуществлении преобразований Фурье целесообразно использовать теоремы, устанавливающие их свойства и упрощающие вычисления. Приведем без доказательств некоторые из них.

Теорема наложения(суммирования)

Если интегральные преобразования фурье - student2.ru ,то

интегральные преобразования фурье - student2.ru

Эта теорема справедлива для любого числа слагаемых.

Наши рекомендации