Лекція 9. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Поняття невизначеного інтеграла

При диференціюванні задано функцію і потрібно знайти її похідну , тобто в рівності

(3.1)

функція відома, а треба знайти.

При інтегруванні невідома функція , але відома її похідна . Таким чином, інтегрування – дія, обернена диференціюванню.

Якщо має місце рівність (3.1), то функція називається первісною функції . Ясно, що , де - стала інтегрування, також буде первісною від . Можна довести, що інших первісних від немає, тобто є сукупність усіх первісних від .

Означення. Невизначеним інтегралом для неперервної функції називають множину всіх первісних функцій і позначають

. (3.2)

Основні властивості невизначеного інтеграла:

1) ;

2)

2) ;

3) .

Зауваження:

1) якщо , то .

2) якщо в чисельнику стоїть диференціал знаменника, то первісна такої функції дорівнює натуральному логарифму модуля знаменника

(3.3)

Таблиця основних інтегралів

Частина цих формул (наприклад, 2, 4, 5, 6, 7, 11) є оберненими до формул таблиці похідних, інші отримані за допомогою певних прийомів інтегрування, частину з яких ми розглянемо нижче.

При інтегруванні застосовуються часто дві такі властивості невизначеного інтеграла, безпосередньо пов'язаних з його обчисленням

Безпосереднє інтегрування

Суть його складається в тому, що іноді вдається складну функцію або добуток функцій за допомогою деяких операцій або формул зводити до суми табличних інтегралів. Безпосереднє інтегрування виконується з використанням таблиці інтегралів і наведених властивостей.

Приклад 3.1. Знайти

Розв’язання.

Приклад 3.2. Знайти інтеграл

Розв’язання.

Тут почленним діленням інтеграл звівся до табличних 4 і 6.

Приклад 3.3.Знайти інтеграл .

Розв’язання.

Звернемо увагу на те, що , , тому інтеграли від цих функцій обчислюються за формулою 1 таблиці інтегралів.

Приклад 3.4. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Виділимо цілу частину підінтегральної функції. Для цього поділимо чисельник на знаменник способом діленням многочлена на многочлен, або припишемо в чисельнику та і розглянемо суму дробів. Одержимо

.

.

9.4. Метод заміни змінної (метод підстановки)

Метод інтегрування підстановкою полягає у введенні нової змінної інтегрування (тобто підстановки). При цьому заданий інтеграл приводиться до нового інтеграла, що є табличним або до такого, що до нього зводиться (у випадку «вдалої» підстановки). Загальних методів підбора підстановок не існує. Уміння правильно визначити підстановку здобувається практикою.

Нехай потрібно обчислити інтеграл Зробимо підстановку х = φ(t), де φ(t) — функція, що має неперервну похідну.

Тоді dx = φ′(t) dt і на підставі властивості інваріантності формули інтегрування невизначеного інтеграла отримуємо формулу інтегрування підстановкою

(3.4)

Формула (3.4) також називається формулою заміни змінних у невизначеному інтегралі. Після знаходження інтеграла правої частини цієї рівності варто перейти від нової змінної інтегрування t назад до змінної х.

Іноді доцільно підбирати підстановку у вигляді t = φ(x), тоді де t = φ(x). Інакше кажучи, формулу (3.4) можна застосовувати праворуч і ліворуч.

Приклад 3.5.Знайти інтеграл

Розв’язання

Приклад 3.6.Знайти інтеграл .

Розв’язання

.

Можна також використовувати і такий запис:

Приклад 3.7. Знайти інтеграл .

Розв’язання.

Приклад 3.8. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Виділивши повний квадрат у знаменнику підінтегральної функції, зможемо застосувати відповідну формулу із таблиці інтегралів. Одержимо

Приклад 3.9. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Розглянемо різницю двох інтегралів і до кожного із них застосуємо відповідну формулу із таблиці інтегралів. Одержимо ,

.

Приклад 3.10. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Часто доводиться вводити заміну для спрощення обчислення інтегралу. Замінимо на нову змінну. Одержимо

Зауваження. Метод заміни змінної можна використовувати й у деяких інших випадках. Вони будуть розглянуті далі.

Інтегрування частинами

Цим методом у деяких випадках вдається про інтегрувати добуток або частку функцій.

Формула інтегрування частинами має вигляд:

(3.5)

Корисні такі рекомендації.

1. Якщо підінтегральна функція представляє собою добуток алгебраїчної функції на показникову або тригонометричну функцію, то проміжною змінною u треба позначати алгебраїчну частину.

2. Якщо підінтегральна функція представляє собою добуток алгебраїчної функції на логарифмічну або обернену тригонометричну функцію, то змінною u треба позначати неалгебраїчну частину.

Приклад 3.11. Знайти інтеграл

Розв’язання.Відповідно до рекомендації 1 зазначимо . Щоб інтеграл прийняв вид , зазначимо .

Щоб скористатися формулою (3.5) треба знайти і , тому рівняння продиференціюємо, а в рівнянні знайдемо первісну. Будемо мати: , .

За формулою (3.5) одержимо:

Приклад 3.12.Знайти інтеграл

Розв’язання.Рекомендація 1 нічого не дасть. Дійсно, якщо позначати , , то . Цей інтеграл ми знайти не зможемо.

Скористаємося рекомендацією 2. Розв’язання можна оформити у такий спосіб:

Зауваження.Іноді інтегрування частинами доводиться застосовувати в одному прикладі декілька разів.

Приклад 3.13. Знайти інтеграл .

Розв’язання.

Приклад 3.14. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Для знаходження інтеграла застосуємо формулу (3.5). Одержимо