Множество действительных и комплексных чисел

В основе математики лежит понятие множества. Природа элементов абстрактного множества нас не интересует. От элементов требуется только одно, чтобы они подчинялись заданной системе аксиом. Ценность формального определения состоит в том, что оно выявляет общие свойства совершенно, казалось бы, различных математических объектов. Например, числовые множества имеют одинаковые алгебраические свойства. Напомним эти множества.

Натуральные числа.Леопольд Кронекер когда-то произ­нес: «Натуральное число создал господь Бог, все прочие – дело рук человеческих». Натуральный ряд – это числа 1, 2, 3 и т.д. до бесконечности. Обозначение натурального ряда: .

Целые числа – это числа вида n, –n и 0, где n – натуральное число. Все целые числа можно записать так: …, –2, –1, 0, 1, 2, … Отсюда следует, что любое натуральное число является также и целым. Обозначение: .

Рациональные числа – это числа вида p/q, где p и q – целые числа, причем q ≠ 0. Обозначение: . Очевидно, что любое целое число является рациональным.

Действительные или вещественные числа (или континуум)получают из рациональных чисел с помощью некоего предельного процесса. Это наши обычные числа. Обозначение: . Рациональное число всегда действительное. Таким образом,

.

Иррациональные числа. Любая обыкновенная дробь может быть записана в виде бесконечной периодической десятичной дроби. И наоборот, любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби. А какой смысл могут иметь бесконечные непериодические дроби?

Легко показать, что никакая дробь p/q не может быть корнем уравнения x² – 2 = 0. Таким образом не является рациональным числом, то есть бесконечной периодической десятичной дробью. Действительные, но не рациональные числа называются иррациональнымичислами. Обозначение: J.

Комплексные числа.Не каждый многочлен с целыми коэффициентами имеет корни среди действительных чисел, например, квадратный двучлен x² + 1. Добавим к действительным числам некое число i, квадрат которого равен –1: i² = –1. Число i = называется мнимой единицей.

Полученный таким образом набор чисел вместе с результатами арифметических операций над ними называется комплексными числами:.

Комплексные числа записывают в виде z = x + iy, где x и y – вещественные числа, i – мнимая единица.

x = Re z называется вещественной частью комплексного числа z, y = Im z – мнимой частью.

Комплексно сопряженныминазываются числа, отличающиеся только знаком своей мнимой части z^* = x – iy.

Действительные числа – частный случай комплексных при y = 0. Не действительные числа, т. е. комплексные при y ≠0, называются мнимыми.

Любой многочлен с коэффициентами из имеет корень в .

Комплексные числа наглядно изображают на координатной плоскости: на горизонтальной оси лежат вещественные числа Re z, а на вертикальной – мнимые числа Im z.

Модуль числаz равен расстоянию точки, изображающей это число от начала координат .

Для комплексных чисел следующим образом определены операции сложения и умножения:

(х₁, у₁) + (х₂, у₂) = (х₁+ х₂, у₁ + у₂),

(х₁, у₁) × (х₂, у₂) = (х₁·x₂– у₁·у₂, х₁·у₂+ х₂·у₁).

Частное комплексных чисел равно комплексному числу

.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

коммуникативности: z₁ + z₂ = z₂ + z₁, z₁ ·z₂ = z₂ ·z₁;

ассоциативности: (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃),

(z₁ · z₂) ·z₃ = z₁ · (z₂ · z₃);

дистрибутивности: z₁ · (z₂ + z₃) = z₁· z₂ + z₁ · z₃.

Два комплексных числа z₁ = (х₁, у₁) и z₂ = (х₂, у₂) равны, если х₁ = х₂ иу₁ = у₂.

Существует три формы представления комплексного числа z=(x,y):

алгебраическая z=x+iy,

тригонометрическая z =│z│(cosφ+isinφ),

показательная z =│z│exp(iφ).

Здесь символ exp(iφ) обозначает комплексное число (cosφ+i sinφ), φ называется аргументом (аrg z) комплексного числа и является решением системы уравнений

Все аргументы различаются на целые кратные 2p и обозначаются единым символом Arg z.

Комплексные числа часто встречаются в качестве корней полиномов.

Многочленом (полиномом)n-й степени называется выражение вида:

,

где

Два многочлена и равны, если

.

Многочлены можно складывать, перемножать, делить.

Существуют единственные многочлены и такие, что

или ,

здесь – ненулевой многочлен; или ; .

называют частным от деления на , а – остатком.

Если , то делится на без остатка.

Число называется корнем многочлена , если .

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на равняется значению этого многочлена в точке .

Основная теорема алгебры (теорема Гаусса). Всякий мно­гочлен ненулевой степени имеет по крайней мере один корень.

Пример 2. Решить уравнение z³ = 1. Найти модули корней. Отобразить на декартовой плоскости решение уравнения.

Решение.

Здесь – мнимая единица.

1.4 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Rⁿ.
ВЕКТОРЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ЗАДАННОМ БАЗИСЕ

С помощью системы координат удается отождествить вектор или (точку) на плоскости с упорядоченной парой действительных чисел, а в пространстве – с тройкой чисел. Современная физика имеет дело с четырехмерным пространством, где четвертая координата – время. Отвлекаясь от реальных геометрических представлений, можно рассмотреть упорядоченный набор из nдействительных чисел и по аналогии назвать его n-мернымвектором. Числа называются координатами вектора . Количество координат вектора называется размерностью.

Можно исходить и из понятия множества. Декартово произведение множества действительных чисел Rсамо на себя состоит из всевозможных упорядоченных числовых пар и его можно отождествить с плоскостью. Это множество обозначают R². Множество R´R´R = R³состоит из упорядоченных троек и представляет собой трехмерное пространство. Если осуществить декартово произведение Rсамо на себя n раз, то получим совокупность всех n-мерных векторов – пространствоRⁿ .

Чтобы работать с математическими объектами, необходимо определить операции над ними. Операции над n-мерными векторами вводятся по аналогии с обычными и обладают теми же алгебраическими свойствами. Напомним их:

; ;

;

Всякое множество, для элементов которого определены операции сложения и умножения элементов на число таким образом, что выполняются вышеперечисленные свойства, называется векторным пространством.

На случай n-мерного пространстваRⁿ :

пусть . Тогда

Скалярным произведениемдвух векторов называется число

.

Аналогично длине вектора в трехмерном пространстве определяется норма вектора в Rⁿ - пространстве:

Линейная независимость. Базис

Система векторов будет называться линейно зависимой, если найдется набор чисел l₁, l₂,…, l_k, не все из которых равны нулю, такой, что выполняется равенство

.

В противном случае (т.е. ) система называется линейно независимой.

Два ненулевых вектора на плоскости линейно независимы тогда и только, когда они неколлинеарны.

Любые три вектора на плоскости линейно зависимы.

Аналогично для трех- и четырехмерного пространства.

Вообще, любые n+1 векторов пространства Rⁿ линейно зависимы. Так, легко проверить, что система векторов

линейно независима.

Пусть – произвольный вектор. Тогда, очевидно, справедливо равенство

Говорят, что вектор разложен по векторам Эта система векторов называется базисом пространства Rⁿ.

Любые n линейно независимых векторов Rⁿ образуют базис, причем любые m < n линейно независимых векторов базиса Rⁿ не образуют. Таким образом, минимальное количество векторов, которые могут составить базис R^n, равно n.

Вектор в косоугольном базисе трех векторов

Пусть задано 4 вектора в декартовой системе координат. Тогда вектор в базисе может быть представлен в виде: .

Если расписать это векторное равенство, то получим систему линейных алгебраических уравнений

По правилу Крамера (см. параграф ниже) можно найти коэффициенты разложения ; i = 1, 2, 3.