Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Интегральная форма уравнений Максвелла более наглядна, поскольку первое и второе уравнения Максвелла являются обобщениями закона полного тока и закона электромагнитной индукции. Однако для расчетов электромагнитного поля и исследования электромагнитных волн интегральная форма записи уравнений Максвелла мало пригодна. Дальнейшее обобщение приводит к необходимости описания поля в заданной точке пространства. Этого можно достичь, стягивая контур в точку, бесконечно уменьшая его размеры. При этом происходит математический переход к, так называемой, дифференциальной форме записи уравнений Максвелла.

Уравнения Максвелла могут быть представлены в дифференциальной форме:

1. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru ; (5.9)

2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru ; (5.10)

3. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru ; (5.11)

4. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru . (5.12)

В данных уравнениях используются дифференциальные операторы:

Дивергенции

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru ,

и ротора

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru .

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме получаются из интегральных уравнений с помощью теорем Стокса и Гаусса, доказываемых в курсе «Высшей математики»,

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru ,

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru .

Таким образом, уравнения Максвелла (5.9 – 5.12) представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных. Их значение заключается в том, что путем их решения (интегрирования) могут быть найдены сами поля Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru и Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru в любой точке пространства.

Для полного определения уравнений Максвелла в дифференциальной форме их необходимо дополнить граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Эти условия можно сформулировать в краткой форме

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru ; Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru ; Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru ; Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru .

Для доказательства этих соотношений рассмотрим границу раздела двух однородных магнетиков и очень малой высоты цилиндр, расположенный на границе раздела магнетиков, как показано на рис. 5.3.

Поток вектора Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru наружу этого цилиндра можно записать в виде:

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru .

Взяв обе проекции вектора Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru на общую нормаль Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru , получим Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru , и предыдущее уравнение после сокращения на Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru примет следующий вид:

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru ,

т. е. нормальная составляющая вектора Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела. Эта величина скачка не испытывает.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru

Рис. 5.3

Теперь рассмотрим ситуацию, при которой вдоль поверхности раздела течет поверхностный ток проводимости с линейной плотностью Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru . Применим теорему о циркуляции вектора Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru к очень малому прямоугольному контуру, высота которого пренебрежимо мала по сравнению с его длиной Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru , расположив этот контур так, как показано на рисунке (5.4). Пренебрегая вкладом в циркуляцию на боковых сторонах контура, запишем для всего контура:

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru ,

где Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru ‑ проекция вектора Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru на нормаль N к контуру. Взяв обе проекции вектора Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru на общий орт касательной Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru (в среде 2), получим Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru , и после сокращения на Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru предыдущее уравнение примет вид

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru ,

т. е. тангенциальная составляющая вектора Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru при переходе границы раздела магнетиков претерпевает скачок, связанный с наличием поверхностных токов проводимости.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru

Рис. 5.4

Если на границе раздела магнетиков проводимости нет ( Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru =0), то тангенциальная составляющая вектора Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела:

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru .

Таким образом, если на границе раздела нет токов проводимости, то при переходе через границу составляющие Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru и Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru изменяются непрерывно, без скачка. Составляющие же Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru и Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru при этом претерпевают скачок.

Аналогично можно получить условия для вектора электрической напряженности и индукции на границе двух диэлектриков

Также фундаментальные уравнения Максвелла в дифференциальной форме должны быть дополнены соотношениями, в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды. Эти соотношения называются материальными уравнениями. В общем случае они могут быть крайне сложными, поэтому приведем материальные уравнения для случая изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков:

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru ; Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru ; Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru ,

где Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru – объемная плотность заряда; Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru – диэлектрическая проницаемость среды; Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru Ф/м – электрическая постоянная; Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru – магнитная проницаемость среды; Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru Гн/м – магнитная постоянная; Уравнения Максвелла в дифференциальной форме - student2.ru – удельная электрическая проводимость среды.

Наши рекомендации