Технология решения задач с помощью определенного интеграла

Практическая работа №23

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

Цель работы

Закрепить навык вычисления определенных интегралов методом непосредственного интегрирования, формировать умение решать задачи физики и геометрии с помощью определенных интегралов.

Обеспечивающие средства

2.1.Методические указания по выполнению практической работы, таблицы интегралов, микрокалькуляторы.

Требования к отчету

3.1.Дата, номер работы, тема, цель работы.

3.2.Выполняя задание 1 с помощью метода непосредственного интегрирования, вычислить определенные интегралы в соответствии с данными своего варианта (см. таблицу вариантов 23).

3.3.Решить задачи с помощью определенного интеграла. В задачах 3 и 4 сделать чертеж.

3.4. Подготовить ответы на вопросы (в письменной форме).

Технология решения задач с помощью определенного интеграла

На практике очень часто приходится решать следующие задачи:

1) нахождение пути точки, движущейся прямолинейно, по заданному закону изменения скорости этой точки;

2) вычисление площади фигур, которые имеют форму криволинейной трапеции;

3) вычисление объема тел, полученных вращением вокруг оси какой-либо криволинейной трапеции.

При прямолинейном движении путь точки, пройденный с момента времени t₁ до момента времени t₂, можно определить по закону изменения скорости этой точки:

s(t) = (23.1)

Определение. Криволинейная трапеция - это фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей своего знака на отрезке [a; b] функции, прямыми x=a, x=b и отрезком [a; b].

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

(23.2)

Объем тела вращения можно вычислить по формуле:

(23.3)

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у=-х²+5х+6 и осью ОХ.

Решение. Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ:

-х²+5х+6=0

Имеем корни квадратного уравнения: х₁=-1, х₂=6.

Построим график функции у=-х²+5х+6.

Пределы интегрирования: -1 и 6.

По формуле (23.2) найдем площадь фигуры, ограниченной сверху параболой и снизу осью ОХ:

Ответ: S_ф = (кв.ед.)

Пример 2. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси .

Решение. Построим фигуру,ограниченную линиями , , здесь уравнение задаёт ось .

Плоская заштрихованная фигура вращается вокруг оси . В результате вращения получается «яйцевидное» тело, которое симметрично относительно оси .

В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси . Это ничего не меняет – функция в формуле возводится в квадрат: , таким образом объем тела вращения всегда неотрицателен.

Вычислим объем тела вращения, используя формулу (23.3):

Ответ:

Практическое задание

Вариант 1

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой за 3-ю секунду.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 2

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до момента времени 4с.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 3

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 4

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой за 2-ю секунду.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 5

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до момента времени 3с.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 6

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до момента времени 2с.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 7

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой за первую секунду.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 8

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до момента времени 4с.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 9

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до момента времени 2с.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 10

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 11

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой за 2-ю секунду.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 12

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой за 3-ю секунду.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 13

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до момента времени 4с.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 14

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 15

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой за 2-ю секунду.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 16

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до момента времени 4с.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 17

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до момента времени 2с.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 18

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой за первую секунду.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 19

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до момента времени 2с.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 20

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 21

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой за 2-ю секунду.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 22

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой за 3-ю секунду.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 23

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до момента времени 4с.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 24

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 25

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до момента времени 4с.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 26

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой за 2-ю секунду.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 27

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до момента времени 3с.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 28

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до момента времени 2с.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 29

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой за первую секунду.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 30

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до момента времени 2с.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 31

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 32

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой за 2-ю секунду.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Вариант 33

1. Вычислите определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) .

1. Решите задачу. Скорость движения точки определяется по закону . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до момента времени 3с.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.
3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями . Сделайте чертеж.

Контрольные вопросы

6.1. Что называется определенным интегралом?

6.2. Какие свойства определенного интеграла вы знаете?

6.3. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

6.4. Каково физическое и геометрическое приложение определенных интегралов?

6.5. Какая трапеция называется криволинейной? (определение вместе с рисунком).

6.6. По какой формуле вычисляется объем тела?

Литература

7.1. Н.В.Богомолов, П.И.Самойленко «Математика», §§66-67.

7.2. А.А.Дадаян «Математика», §§10.9-10.10.