Визначення параболи і виведення її канонічного рівняння. Дослідження форми і властивостей параболи

Параболою називається множина точок площини, кожна з яких знаходиться на однаковій відстані від заданої точки, яка називається фокусом, і від даної прямої, яка не проходить через фокус і називається директрисою.

Відстань від фокуса до директриси називається параметром параболи і далі позначається

Для виведення рівняння параболи вводимо систему координат таким чином. Вісь проходить через фокус перпендикулярно до директриси і додатній напрямок задається від директриси до фокуса. Початок координат помістимо посередині між фокусом та директрисою. Вісь спрямовується так, щоб система була правою. (Рис. 42.1)

Рис. 42.1

При такому виборі системи координат якщо - фокус параболи, то - парамаетр параболи. Тоді фокус має координати а директриса задається рівнянням

Розглянемо довільну точку параболи . З’єднаємо і фокус і проведемо - перпендикуляр до директриси (Рис. 42.1). Знаходимо

Для будь-якої точки на параболі має виконуватись рівність Отже

Піднесемо обидві частини останньої рівності до квадрату і здійснимо перетворення:

Рівняння називається канонічним рівнянням параболи.

Рівняння дозволяє встановити такі властивості параболи.

1. Оскільки і , то з випливає, що Отже, парабола- необмежена крива, що знаходиться у правій півплощині координатної площини

2. Точка належить парболі і називається вершиною параболи.

3. Для кожної точки параболи симетрична відносно осі точка теж належить до параболи. Отже вісь - вісь симетрії параболи. Центра симетрії парабола не має.

Властивості 1 – 3 досволяють зобразити параболу (Рис. 42.2):

Рис. 42.2

У данній системі координат можно розглянути ще три параболи з вершиною у точці , параметром і осями симетрії, які співпадають з координатними осями:

фокус , директриса

фокус , директриса

фокус , директриса .