Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок

Функция F(x) называется первообразнойфункции f(x) на некотором промежутке Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru , если F(x) дифференцируема на промежутке X и для всех Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru выполняется Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru

Например, Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru— первообразная для Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

Если F(x) – одна из первообразных функции f(x) на промежутке X, то любая другая ее первообразная имеет вид Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru , где C – произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x). Обозначение: Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru . Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.

Операция нахождения неопределённого интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции.

Достаточное условие существования неопределённых интегралов. Всякая непрерывная на множестве X функция имеет на этом множестве первообразную, а значит, неопределенный интеграл.

Геометрическая трактовка неопределённого интеграла. Если Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru , то уравнение y=F(x)+C задает однопараметрическое семейство линий на плоскости Оxy, каждая из которых называется интегральной линией для функции f(x). Все интегральные линии для y=f(x) имеют одинаковую форму и не пересекаются, т.к. получаются друг из друга сдвигом по оси Оу.

Свойства неопределённого интеграла.

Свойство 1 (о производной неопределённого интеграла).

Производная неопределённого интеграла по переменной интегрирования равна подынтегральной функции: Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

Свойство 2 (о рядом стоящих знаках интеграла и дифференциала).

Рядом стоящие знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются:

а) Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru (дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению);

б) Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

Свойство 3(о линейности неопределённого интеграла по подынтегральной функции).

а) Неопределённый интеграл от суммы двух или нескольких функций равен сумме неопределённых интегралов от каждой функции:

Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru ;

б) Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:

Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование.

Метод подстановок. Стр.1

Таблица основных интегралов.

1. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

2. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru , Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

3. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru , Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

4. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

4′. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

5. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

6. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

7. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

8. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

9. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru , Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

9′. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

10. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru , Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru – «высокий логарифм”.

11. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru , Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

11′. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

12. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru , Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru – «длинный логарифм”.

Вычисление неопределённых интегралов с использованием их свойств и таблицы интегралов называется непосредственным или табличным интегрированием.

Пример 1. Путем непосредственного интегрирования найти неопределенный интеграл Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

Решение. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru

Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование.

Метод подстановок. Стр.2

Замечание: при вычислении суммы нескольких интегралов одну произвольную постоянную интегрирования следует добавлять только в конце после того, как закончено все интегрирование.

Пример 2. Путем непосредственного интегрирования найти неопределенный интеграл Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

Решение. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru

Пример 3. Путем непосредственного интегрирования найти неопределенный интеграл Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

Решение. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru

Пример 4. Путем непосредственного интегрирования найти неопределенный интеграл Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

Решение. Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru

Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного, т.е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

Правило замены переменной интегрирования.Пусть требуется вычислить Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .Переменную интегрирования х можно заменить на другую переменную t, выполнив подстановку Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru или Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru . При этом в исходном интеграле нужно всё подынтегральное выражение пересчитать через переменную t и её дифференциал, учитывая определение дифференциала функции: Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru или Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru . В результате подстановки получим, что Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

После вычисления интеграла по переменной t нужно вернуться к переменной х, выполнив обратную замену. Выполненная подстановка считается эффективной, если получившийся интеграл по новой переменной интегрирования окажется проще исходного.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование.

Метод подстановок. Стр.3

Пример 5.Вычислить интеграл Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru

Решение.

Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

Пример 6. Вычислить интеграл Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru

Решение.

Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок - student2.ru .

Наши рекомендации