Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: .

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции выглядит следующим образом:

где , а произвольные приращения независимых переменных .
Приращения рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

20.Свойства функций, дифференцируемых на интервале: Теорема Ролля. Теорема Коши. Теорема Лагранжа.

Теорема Ролля. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b) и значения ф-ции на концах отрезка одинаковы, т.е. f(a)=f(b), то существует на (a,b) т.ξ, в которой производная ф-ции=0. Для док-ва воспользуемся одной из теорем о непрерывных ф-циях, а именно: непрерывная на [a,b] ф-ция принимает на этом отрезке свое max и min значение: 1) Если f_max=f_min, то f(x)=const. 2) Если f_max>f_min, то по крайней мере одно из этих значений ф-ция принимает в т.ξϵ(a,b). Пусть например f(ξ)= f_max, тогда приращению аргумента ∆х>0 будет соответствовать приращение ф-ции f(x+∆x)-f(x)<=0, f(x-∆x)-f(x)<=0, откуда, разделив на ∆x оба соотношения получим, сохранив знак: (f(x+∆x)-f(x))/ ∆x<=0, (f(x-∆x)-f(x))/ -∆x>=0. Выполнив предельные переходы этих нер-в получим при x=ξ: f ′(ξ)<=0, f ′(ξ)>=0, => f ′(ξ)=0.

Теорема Коши. Если ф-ции f(x) и φ(x) непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b) и производная φ′(x)=0 во всех точках (a,b), то существует хотя бы одна точка ξ такая , что (f(b)-f(a))/ (φ(b)-φ(a))=f ′(ξ)/φ′(ξ) (1) .

Док-во: введем вспомог ф-цию F(x)=f(x)+λφ(x), причем λ выбирается из условия , чтобы f(a)=f(b), т.е. мы подгоняем F(x) под условие Т.Ролля. Для этого нужно найти λ, соотв. этим условиям: f(а)+λφ(а)= f(b)+λφ(b). λ= (f(b)- f(а))/(φ(b)-φ(а)). Подставим ее во вспомог ф-цию :

F(x)=f(x)+ (f(b)- f(а))/(φ(b)-φ(а))φ(x)=0. При φ(ξ)≠0 нетрудно найти (f(b)- f(а))/(φ(b)-φ(а))= f ′(ξ)/φ′(ξ) .

Теорема Лагранджа. Если ф-ция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b), то существует хотя бы одна т.ξϵ(a,b) такая, что f(b)-f(a)=f ′(ξ)(b-a) (2).

Док-во: ф-ла (2) есть частный случай (1). Положим в (1) φ(x)=x, при этом φ′(x)=x′=1, φ(a)=a, φ(b)=b. В ф-ле Коши получим: (f(b)-f(a))/(b-a)= f ′(ξ), откуда следует (2).

Приложение формулы Тейлора к исследованию функции:

Возрастание и убывание ф-ии.достаточное условие возрастания.

Функция y=f(x), определенная на некотором отрезке [a, b] (интервале (a, b)), называется возрастающей на этом отрезке, если большему значению аргумента x из [a, b] соответствует большее значение функции, то есть если x₁ < x₂, то f(x₁) < f(x₂).

Функцияy=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [a, b], если меньшему значению аргумента x из [a, b]соответствует большее значение функции, то есть если x₁ <x₂, то f(x₁) > f(x₂).

Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.

Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.

Т1*. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f '(x)≥ 0.

Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ' (x)≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[a, b].

*Точка х₀ называется точкой максимума функции у=ƒ(х), если существует такая d -окрестность точки х₀, что для всех х≠х₀ из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х)<ƒ(х₀).

Аналогично определяется точка минимума функции: x₀ — точка минимума функции, если $d>0 " х: 0<|x-x₀|<d Þ ƒ(х)>ƒ(х₀). Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом)функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции.

непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

*(достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция у=ƒ(х) дифференцируема в некоторой d -окрестности критической точки х₀ и при переходе через нее (слева направо) производная ƒ'(х) меняет знак с плюса на минус, то х₀ есть точка максимума; с минуса на плюс, то х₀ — точка минимума.

*правило исследования функции на экстремум:

1) найти критические точки функции у=ƒ(х);

2) выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;

3) исследовать знак производной ƒ'(х) слева и справа от каждой из выбранных критических точек;

4) в соответствии с теоремой (достаточное условие экстремума) выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.

*выпуклость и вогнутость.

График дифференцируемой функции у=ƒ(х) называется выпуклым вниз на интервале (а;b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции у=ƒ(х) называется выпуклым вверх на интервале (а;b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Если функция у=ƒ(х) во всех точках интервала (а;b) имеет отрицательную вторую производную, т. е. ƒ"(х)<0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же ƒ"(х)>0 " xє(а;b) — график выпуклый вниз.

точка графика непрерывной функции у=ƒ(х), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

(достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная ƒ"(х) при переходе через точку х₀, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой х₀ есть точка перегиба.

Пусть ƒ"(х)<0 при х<х₀ и ƒ"(х)>0 при х>х₀. Это значит, что слева от х=х₀ график выпуклый вверх, а справа — выпуклый вниз. Следовательно, точка (х₀;ƒ(х₀)) графика функции является точкой перегиба.

Аналогично доказывается, что если ƒ"(х)>0 при х<x₀ и ƒ"(х)<0 при х>х₀, то точка (х₀;ƒ(х₀)) — точка перегиба графика функции у=ƒ(х).

асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Асимптоты могут быть вертикальными, на клонными и горизонтальными.

Говорят, что прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции

, или Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения х, вблизи которых функция ƒ (х) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

47(22) ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Напомним, что в случае функции одного переменного формула Тейлора имеет вид

где -- фиксированная точка, в которой ведётся разложение, -- текущая точка, а -- некоторая точка отрезка между точками и . При этом предполагается, что функция имеет производную -го порядка, определённую в некоторой окрестности точки .

Последнее слагаемое формулы, то есть называется остаточным членом формулы Тейлора, а многочлен от , равный

называется многочленом Тейлора функции в точке .

49(24)

Выпуклость и вогнутость графика функции График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c). Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым. Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый. Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M0 с абсциссой x0 Î (a; b) и проведем через точку M0 касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет .

Разность f(x) – f(x₀) преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x₀.

Таким образом, .

К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где c₁ между c₀ и x₀. По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

1. Предположим, что x>x₀. Тогда x₀<c₁<c<x, следовательно, (x – x₀) > 0 и (c – x₀) > 0. Поэтому .

2. Пусть x<x₀, следовательно, x < c < c₁ < x₀ и (x – x₀) < 0, (c – x₀) < 0. Поэтому вновь .

Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x₀ Î (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .

23. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.

Ряд Маклорена:

Экспонента:

Натуральный логарифм:

для всех

§ Синус:

§ Косинус:

§ Тангенс: для всех

§ Арксинус: для всех

§ Арктангенс: для всех