I Метод эквивалентных преобразований

Задача I

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

ИДО.РЭЦППСТ.01.000.КР.

Разраб.

Южанин Д.М

Провер.

Шулаков А.Н.

Т. Контр.

Н. Контр.

Утверд.

Задача I

Лит.

Листов

ТГСХА ИДО ЭЛС-3

Реценз.

Масса

Масштаб

Дано: E₁=30 В, E₂=25 В, R₁=15 Ом, R₂=15 Ом, R₃=5 Ом.

Определить ток I₃ через сопротивление R₃ приведенной на рисунке 1 схемы, используя методы:

1) эквивалентных преобразований;

2) эквивалентного генератора (активного двухполюсника);

3) узловых потенциалов;

4) суперпозиции (наложения).

Рисунок 1. Схема к задаче.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

Решение:

I Метод эквивалентных преобразований

1)Источники Е₁ и Е₂ включенные последовательно с ними сопротивления R₁ и R₂ заменяются источниками тока I₁ и I₂ с параллельно включенными сопротивлениями R₁ и R₂ заменяются источниками тока I₁ и I₂ с параллельно включенными сопротивлениями R₁ и R₂

I₁=-E₁/R₁=-30/15=-2 А

I₂=E₂/R₂=25/15=1,66667 А

Эквивалентная схема после замены источников ЭДС на источники тока:

2) Так как источники тока I₁ и I₂ включены параллельно, их можно заменить одним I_экв.; параллельно включенные сопротивления R₁ и R₂ — сопротивлением R_экв.

I_экв.= I₁ + I₂=-2+1,66667=-0,33333 А

R_экв=R₁R₂/(R₁+R₂) =15*15/(15+15)=7,5 Ом

Эквивалентная схема после замены нескольких источников тока одним:

3) Источник тока I_экв. и сопротивление R_экв., включенное параллельно ему, преобразуется в источник ЭДС с внутренним сопротивлением R_экв.

E_экв.= I_экв. ∙ R_экв. =-0,33333*7,5=-2,49998 В

Что приводит к схеме:

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

4) По закону Ома находим ток I₃.

I₃ = E_экв./(R_экв.+R₃) =-2,49998/(7,5+5)=-0,2 А

Ответ: I₃ = -0,2 А

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

II Метод эквивалентного генератора

1) Определяем ЭДС E_г эквивалентного генератора одним из методов расчёта. Например, составив контурное уравнение по II закону Кирхгофа.

найдём ток I₁ = I₂

I₁ = I₂=(-Е₁+Е₂)/(R₁+R₂) = (-30+25)/(15+15)=-1,83333 А

E_г=U₁₂=E₂-I₂R₂=25-1,83333*15=-2,49995 В

2) Находим внутреннее сопротивление R_г эквивалентного генератора, с учётом того, что по отношению к его зажимам 1-2 сопротивления R₁ и R₂ включены параллельно, т.е.

R_г=R₁R₂/(R₁+R₂)= 15*15/(15+15)=7,5 Ом

3)По закону Ома находится ток I₃

I₃ =E_г/(R_г+R₃) =-2,49995/(7,5+5)=-0,2 А

Ответ: I₃ =- 0,2 А

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

III Метод узловых потенциалов

1) Определяется напряжение U₁₂ между узлами 1 и 2 по выражению:

U₁₂ = (-E₁ G₁ + E₂ G₂ + E₃ G₃) / (G₁ +G₂ +G₃)

U₁₂=(-30/15+25/15+0/5)/(1/15+1/15+1/5)=-1 В

I₃ = U₁₂/R₃=-1/5=-0,2 А

Ответ: I₃ = -0,2 А

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

IV Метод суперпозиции

1) Источник ЭДС Е₂ заменяется его внутренним сопротивлением (в рассматриваемой задаче приняты идеальные источники ЭДС, то есть их внутренние сопротивления равны нулю)

Схема для определения частичного тока, создаваемого источника ЭДС:

2) Находится частичный ток I₃ c использованием правил определения эквивалентных сопротивлений при параллельном и последовательном соединении пассивных элементов и закона Ома.

а) эквивалентное сопротивление R₂₃ параллельно включенных сопротивлений R₃ и R₂

R₂₃ = R₂R₃/(R₂+R₃) =15*5/(15+5)=3,75 Ом

Полное сопротивление цепи

R_ц = R₁+R₂₃ =15+3,75=18,75 Ом

б) ток I₁ в неразветвленной части цепи

I₁=E₁/R_ц =30/18,75=1,6 А

в) напряжение на сопротивлении R₃

U₃ = U₂₃ =I₁R₂₃=1,6*3,75=6 В

г) частичный ток I₃'

I₃' = -U₃/R₃ =-6/5=-1,2 А

3)Для определения частичного тока I₃'' расчет следует повторить:

а) эквивалентное сопротивление R₂₃ параллельно включенных сопротивлений R₁ и R₃

R₁₃ = R₁R₃/(R₁+R₃) =15*5/(15+5)=3,75 Ом

Полное сопротивление цепи

R_ц = R₂+R₁₃=15+3,75=18,75 Ом

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

б) ток I₂ в неразветвленной части цепи

I₂=E₂/R_ц =25/18,75=1,33333 А

в) напряжение на сопротивлении R₃

U₃ = U₁₃ =I₂R₁₃ =1,33333*3,75=4,99999 В

г) частичный ток I₃''

I₃'' = U₃/R₃ =4,99999/5=1 А

4) Действительный ток I₃

I₃ =I₃' + I₃'' =-1,2+1=-0,2 А

Ответ: I₃ = -0,2 А

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

Методы решения задачи

1 метод: Метод эквивалентных преобразований.

При расчете методом эквивалентных преобразований используются правила взаимных преобразований источников тока и ЭДС и замены последовательно или параллельно включенных сопротивлений эквивалентными, что позволяет получить простую схему электрической цепи, расчет которой производится с применением закона Ома.

2 метод: Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника).

Суть этого метода расчета заключается в разделении схемы цепи на две части – одной из которых является участок с искомой величиной, а вторая рассматривается как источник питания с ЭДС Е_г и внутренним сопротивлением R_г (иначе – эквивалентный генератор, или активный двухполюсник).

3 метод: Метод узловых потенциалов.

Этот метод основан на определении потенциала каждого узла по отношению к какому-либо одному, принятому за базовый с нулевым потенциалом, а напряжение между любыми двумя узлами находится как разность их потенциалов. Обычно этот метод используется для расчета цепей с двумя узлами, но может использоваться и для расчета более сложных цепей.

4 метод: Метод суперпозиции (наложения).

Расчет электрической цепи методом суперпозиции (наложения) сводится к последовательному исключению всех источников питания, кроме одного, при этом исключаемые источники питания заменяются их внутренними сопротивлениями; производя расчет упрощенной цепи, находят токи в ее ветвях, создаваемые каждым источником питания. Иначе эти токи можно назвать частичными. Полный ток каждой ветки находится как алгебраическая сумма частичных токов.