Задания для самостоятельной работы. Равносильность формул.
Лабораторная работа № 125.
Равносильность формул.
Цель работы.Изучить логические операции и основные равносильности алгебры логики, научиться преобразовывать формулы, используя основные равносильности и правила поглощения.
Логические операции
- отрицание, Ú - дизъюнкция, Ù (&) - конъюнкция,
« (~) - эквиваленция, ® - импликация
Приоритет операций:
конъюнкция, дизъюнкция, эквиваленция и импликация
Таблица истинности
A | B | A Ú B | A & B | A « B | A ® B | |
Основные равносильности алгебры логики:
1. º A 2. A & B º B & A
3. A Ú B º B Ú A 4. (A & B) & C º A & (B & C)
5. (A Ú B) Ú C º A Ú (B Ú C) 6. A & (B Ú C) º (A & B) Ú (A & C)
7. A Ú (B & C) º (A Ú B) & (A Ú C) 8. A & A º A
9. A Ú A º A 10. (A & B) Ú A º A
11. (A Ú B) & A º A 12. A & B º Ú
13. A Ú B º & 14. A & 1 º A
15. A & 0 º 0 16. A Ú 1 º 1
17. A Ú 0 º A 18. A Ú º 1
19. A & º 0 20. A ® B º Ú B
21. A « B º (A ® B) & (B ® A) º AB Ú
22. A Ú B º A Ú B
Студенты с четными номерами по списку группы выполняют 2, 4, 6, 8, 10 задания, с нечетными номерами выполняют задания 1, 3, 5, 7, 9.
Задание 1.Используя основные равносильности алгебры логики, упростить формулы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ;
8) ;
9) .
Методические указания.
Пример 1. Используя основные равносильности алгебры логики, а также равносильности и ,
упростить формулу: .
Решение.
Ответ:
Логическую операцию конъюнкция в формулах алгебры логики можно опускать, т.е. выражение A&B можно записывать в виде АВ.
Пример 2. Для заданного высказывания
1) построить таблицу истинности;
2) упростить высказывание, используя равносильные преобразования;
3) полученный результат проверить, построив для него таблицу истинности.
Решение.
1) Таблица истинности. Пусть
Х | Y | Z | YZ | U | |||
2) Выполним равносильные преобразования, используя и , имеем:
в последнем преобразовании для первого и третьего слагаемых использовали правило поглощения АВÚАºА, далее используем другое правило поглощения , получаем
Еще раз использовали правило поглощения.
3) Для полученного выражения построим таблицу истинности
Х | Y | Z | |||
Результирующие (последние) столбцы в двух таблицах совпали, следовательно, выполненные преобразования верны.
Задания для самостоятельной работы
Для заданного логического выражения (высказывания):
1) построить таблицу истинность;
2) упростить высказывание, используя равносильные преобразования;
3) полученный результат проверить, построив для него таблицу истинности.
Вариант | Вариант | ||
(A « C) Ú A Ú B | (A ® B) Ú A Ú BC | ||
(AB ® C) Ú A | C Ú (AB « C) | ||
( ® C) (B Ú AC) | (A ~ B) Ú C Ú AB | ||
(A ® B) Ú A Ú AC | (A ~ B) Ú A Ú AC | ||
(AC ® B) Ú B | (AC ® B) Ú A | ||
( ® B) ( Ú AC) | ( « C) (A ® BC) | ||
(A ® C) Ú A Ú B | (C ® A ) Ú Ú BC | ||
(BC ® ) ÚAB | C Ú (AB « C) Ú B | ||
(AB ® C) Ú AB | ( ~ B) (A ® CB) | ||
(B ® AC) Ú (AB ® C) | ( B ® C) Ú B Ú C | ||
(A « B) Ú (A ® BC) | ( C ® ) Ú BC | ||
(AB ® C) Ú A | ( B ® C) (A ~ C) | ||
( « BC) (A ® BC) | (A ® B) ( B ® C) | ||
(A « C) Ú A C Ú B | (A ® B) Ú A Ú BC | ||
( ® AC) Ú A | C Ú (AB « C) | ||
( ® BC) ( Ú AB) | (A ~ B) Ú C Ú AB | ||
(A ® BC) Ú C Ú AB | (A ~ B) Ú A Ú AC |
Контрольные вопросы.
1. Какие основные логические операции вам известны?
2. Перечислите основные равносильности алгебры логики.